Valeurs Propres et Vecteurs Propres
Un vecteur propre d'une matrice est un vecteur non nul dont la direction reste inchangée lorsqu'une transformation linéaire (représentée par la matrice) lui est appliquée ; seule sa longueur est modifiée. Le facteur d'échelle correspondant est donné par la valeur propre associée.
Pour la matrice de covariance Σ, les vecteurs propres indiquent les directions de variance maximale, et les valeurs propres indiquent la quantité de variance dans ces directions.
Mathématiquement, pour la matrice A, le vecteur propre v et la valeur propre λ :
Av=λvEn ACP, les vecteurs propres de la matrice de covariance sont les axes principaux, et les valeurs propres sont les variances le long de ces axes.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
Le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre indique la direction de la plus grande variance dans les données. Il s'agit du premier composant principal.
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Pour la matrice de covariance Σ, les vecteurs propres indiquent les directions de variance maximale, et les valeurs propres indiquent la quantité de variance dans ces directions.
Mathématiquement, pour la matrice A, le vecteur propre v et la valeur propre λ :
Av=λvEn ACP, les vecteurs propres de la matrice de covariance sont les axes principaux, et les valeurs propres sont les variances le long de ces axes.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
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