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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Variance, Covariance et Matrice de Covariance | Fondements Mathématiques de l'ACP
Réduction de Dimensionnalité avec l'ACP

bookVariance, Covariance et Matrice de Covariance

Note
Définition

Variance mesure dans quelle mesure une variable s'écarte de sa moyenne.

La formule de la variance d'une variable xx est :

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Définition

Covariance mesure comment deux variables évoluent ensemble.

La formule de la covariance entre les variables xx et yy est :

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

La matrice de covariance généralise la covariance à plusieurs variables. Pour un ensemble de données XX avec dd caractéristiques et nn échantillons, la matrice de covariance Σ\Sigma est une matrice d×dd \times d où chaque entrée Σij\Sigma_{ij} représente la covariance entre la caractéristique ii et la caractéristique jj, calculée avec le dénominateur n−1n-1 afin d'obtenir un estimateur non biaisé.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

Dans le code ci-dessus, les données sont centrées manuellement puis la matrice de covariance est calculée à l'aide de la multiplication matricielle. Cette matrice décrit comment chaque paire de caractéristiques varie ensemble.

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Quelle affirmation décrit avec précision la relation entre la variance, la covariance et la matrice de covariance

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Section 2. Chapitre 1

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Covariance mesure comment deux variables évoluent ensemble.

La formule de la covariance entre les variables xx et yy est :

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

La matrice de covariance généralise la covariance à plusieurs variables. Pour un ensemble de données XX avec dd caractéristiques et nn échantillons, la matrice de covariance Σ\Sigma est une matrice d×dd \times d où chaque entrée Σij\Sigma_{ij} représente la covariance entre la caractéristique ii et la caractéristique jj, calculée avec le dénominateur n−1n-1 afin d'obtenir un estimateur non biaisé.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
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Dans le code ci-dessus, les données sont centrées manuellement puis la matrice de covariance est calculée à l'aide de la multiplication matricielle. Cette matrice décrit comment chaque paire de caractéristiques varie ensemble.

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