Apprendre Opérations Numériques sur les Vecteurs et les Matrices

Opérations numériques sur les vecteurs

En Python, les opérations numériques sur les vecteurs peuvent être effectuées à l'aide de diverses bibliothèques telles que NumPy. NumPy fournit des fonctions efficaces et pratiques pour les opérations vectorisées, ce qui facilite les calculs sur les vecteurs.

Voici quelques opérations numériques courantes sur les vecteurs, avec des exemples en Python :

Addition

Additionner deux vecteurs élément par élément.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a + b
print(c)

Soustraction

Soustraire un vecteur d'un autre élément par élément.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a - b
print(c)

Multiplication Scalaire

Multiplier un vecteur par une valeur scalaire.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = 2
c = a * b
print(c)

Produit Scalaire

Calcul du produit scalaire entre deux vecteurs.
Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération mathématique qui donne une valeur scalaire. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est calculé en prenant la somme des produits de leurs composants correspondants:

u · v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + u₃ * v₃ + ... + uₙ * vₙ


              12345678
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = np.dot(a, b)

# Dot Product = 1*4 + 2*5 + 3*6
print(c)

Opérations sur les matrices

Considérons maintenant les opérations numériques sur les matrices.

Addition et soustraction

Les matrices et les vecteurs de même forme peuvent être ajoutés ou soustraits élément par élément.


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

S = A + B
D = A - B
print(S)
print(D)

Multiplication et division par un scalaire

Chaque élément d'une matrice ou d'un vecteur peut être multiplié ou divisé par une valeur scalaire. Exemple en Python :


              1234567891011
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
scalar = 2

B = scalar * A  # Scalar multiplication
C = A / scalar  # Scalar division

print(B)
print(C)

Multiplication de Matrices

La multiplication de deux matrices est une opération binaire combinant deux matrices pour produire une nouvelle matrice. Pour calculer le résultat de la multiplication de deux matrices, le nombre de colonnes dans la première matrice doit être égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Le produit scalaire des matrices est calculé en prenant le produit scalaire des lignes correspondantes de la première matrice et des colonnes de la deuxième matrice. La matrice résultante aura le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième matrice. Le processus de multiplication de matrices peut être visualisé comme suit :

Exemple


              12345678910111213141516171819202122232425262728
            
import numpy as np

# Define matrices A and B
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])  # Matrix A with shape `(2, 3)`
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])  # Matrix B with shape `(3, 2)`

# Perform dot product of matrices A and B
C = np.dot(A, B)  # Resulting matrix C with shape `(2, 2)`

# Print the resulting matrix C
print("Resulting matrix C (A dot B):")
print(C)

# Element-wise calculation of `C[0, 0]`
# c11 = 1*7 + 2*9 + 3*11
print("C[0, 0] = 1*7 + 2*9 + 3*11 =", C[0, 0])

# Element-wise calculation of `C[0, 1]`
# c12 = 1*8 + 2*10 + 3*12
print("C[0, 1] = 1*8 + 2*10 + 3*12 =", C[0, 1])

# Element-wise calculation of `C[1, 0]`
# c21 = 4*7 + 5*9 + 6*11
print("C[1, 0] = 4*7 + 5*9 + 6*11 =", C[1, 0])

# Element-wise calculation of `C[1, 1]`
# c22 = 4*8 + 5*10 + 6*12
print("C[1, 1] = 4*8 + 5*10 + 6*12 =", C[1, 1])

Remarque

Faites attention au fait que l'opération de multiplication de matrices n'est pas commutative. Dans le cas général, A * B != B * A.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 2. Chapitre 1

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Opérations numériques sur les vecteurs

Voici quelques opérations numériques courantes sur les vecteurs, avec des exemples en Python :

Addition

Additionner deux vecteurs élément par élément.


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import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a + b
print(c)

Soustraction

Soustraire un vecteur d'un autre élément par élément.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a - b
print(c)

Multiplication Scalaire

Multiplier un vecteur par une valeur scalaire.


              123456
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = 2
c = a * b
print(c)

Produit Scalaire

u · v = u₁ * v₁ + u₂ * v₂ + u₃ * v₃ + ... + uₙ * vₙ


              12345678
            
import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = np.dot(a, b)

# Dot Product = 1*4 + 2*5 + 3*6
print(c)

Opérations sur les matrices

Considérons maintenant les opérations numériques sur les matrices.

Addition et soustraction

Les matrices et les vecteurs de même forme peuvent être ajoutés ou soustraits élément par élément.


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

S = A + B
D = A - B
print(S)
print(D)

Multiplication et division par un scalaire

Chaque élément d'une matrice ou d'un vecteur peut être multiplié ou divisé par une valeur scalaire. Exemple en Python :


              1234567891011
            
import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
scalar = 2

B = scalar * A  # Scalar multiplication
C = A / scalar  # Scalar division

print(B)
print(C)

Multiplication de Matrices

Exemple


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import numpy as np

# Define matrices A and B
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])  # Matrix A with shape `(2, 3)`
B = np.array([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])  # Matrix B with shape `(3, 2)`

# Perform dot product of matrices A and B
C = np.dot(A, B)  # Resulting matrix C with shape `(2, 2)`

# Print the resulting matrix C
print("Resulting matrix C (A dot B):")
print(C)

# Element-wise calculation of `C[0, 0]`
# c11 = 1*7 + 2*9 + 3*11
print("C[0, 0] = 1*7 + 2*9 + 3*11 =", C[0, 0])

# Element-wise calculation of `C[0, 1]`
# c12 = 1*8 + 2*10 + 3*12
print("C[0, 1] = 1*8 + 2*10 + 3*12 =", C[0, 1])

# Element-wise calculation of `C[1, 0]`
# c21 = 4*7 + 5*9 + 6*11
print("C[1, 0] = 4*7 + 5*9 + 6*11 =", C[1, 0])

# Element-wise calculation of `C[1, 1]`
# c22 = 4*8 + 5*10 + 6*12
print("C[1, 1] = 4*8 + 5*10 + 6*12 =", C[1, 1])

Remarque

Faites attention au fait que l'opération de multiplication de matrices n'est pas commutative. Dans le cas général, A * B != B * A.

Tout était clair ?

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Section 2. Chapitre 1

Opérations Numériques sur les Vecteurs et les Matrices

Opérations numériques sur les vecteurs

Addition

Soustraction

Multiplication Scalaire

Produit Scalaire

Opérations sur les matrices

Addition et soustraction

Multiplication et division par un scalaire

Multiplication de Matrices

Exemple

Awesome!

Opérations Numériques sur les Vecteurs et les Matrices

Opérations numériques sur les vecteurs

Addition

Soustraction

Multiplication Scalaire

Produit Scalaire

Opérations sur les matrices

Addition et soustraction

Multiplication et division par un scalaire

Multiplication de Matrices

Exemple