Apprendre Algèbre Linéaire de Base

Section 4. Chapitre 3

single

Glissez pour afficher le menu

L'algèbre linéaire est une branche fondamentale des mathématiques qui joue un rôle crucial dans divers domaines, notamment l'apprentissage automatique, l'apprentissage profond et l'analyse de données.

Vecteurs et matrices

En algèbre linéaire, un vecteur est un ensemble ordonné de valeurs. Les tableaux NumPy 1D peuvent représenter efficacement les vecteurs. Une matrice est un tableau à deux dimensions de nombres, qui peut être représenté par un tableau 2D dans NumPy.

Vous avez déjà abordé l'addition et la soustraction de vecteurs et de matrices, ainsi que la multiplication par un scalaire, dans le chapitre "Opérations mathématiques de base". Ici, l'accent sera mis sur d'autres opérations.

Transposition

La transposition est une opération qui retourne une matrice par rapport à sa diagonale. En d'autres termes, elle convertit les lignes de la matrice en colonnes et les colonnes en lignes.

Vous pouvez transposer une matrice en utilisant l'attribut .T d'un tableau NumPy :


              12345
            
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# Transposing a matrix
transposed_matrix = matrix.T
print(transposed_matrix)

Produit scalaire

Le produit scalaire est sans doute l'opération d'algèbre linéaire la plus couramment utilisée en apprentissage automatique et profond. Le produit scalaire de deux vecteurs (qui doivent avoir un nombre égal d'éléments) est la somme de leurs produits élément par élément. Le résultat est un scalaire :

Multiplication de matrices

La multiplication de matrices n'est définie que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde matrice. La matrice résultante aura le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la seconde matrice.

Comme vous pouvez le voir, chaque élément de la matrice résultante est le produit scalaire de deux vecteurs. Le numéro de ligne de l’élément correspond au numéro du vecteur ligne dans la première matrice, et le numéro de colonne correspond au numéro du vecteur colonne dans la seconde matrice.

Le nombre de colonnes dans la première matrice doit être égal au nombre de lignes dans la seconde matrice, car le produit scalaire exige que les deux vecteurs aient le même nombre d’éléments.

Produit scalaire et multiplication de matrices avec NumPy

NumPy propose la fonction dot() pour le produit scalaire ainsi que la multiplication de matrices. Cette fonction prend deux tableaux comme arguments.

Cependant, il est également possible d’utiliser l’opérateur @ entre deux tableaux pour obtenir les mêmes résultats.


              12345678910111213
            
import numpy as np
vector_1 = np.array([1, 2, 3])
vector_2 = np.array([4, 5, 6])
# Dot product using the dot() function
print(np.dot(vector_1, vector_2))
# Dot product using the @ operator
print(vector_1 @ vector_2)
matrix_1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
matrix_2 = np.array([[7, 10], [8, 11], [9, 12]])
# Matrix multiplication using the dot() function
print(np.dot(matrix_1, matrix_2))
# Matrix multiplication using the @ operator
print(matrix_1 @ matrix_2)

Si l’argument droit dans une multiplication matricielle est un vecteur (tableau 1D), NumPy le considère comme une matrice dont la dernière dimension est 1. Lorsqu’on multiplie une matrice 6x4 par un vecteur de 4 éléments, le vecteur est considéré comme une matrice 4x1.

Si l’argument gauche dans une multiplication matricielle est un vecteur, NumPy le considère comme une matrice dont la première dimension est 1. Lorsqu’on multiplie un vecteur de 4 éléments par une matrice 4x6, le vecteur est traité comme une matrice 1x4.

L’illustration ci-dessous montre la structure des tableaux exam_scores et coefficients utilisés dans l’exercice :

Tâche

Glissez pour commencer à coder

Le score final de chaque étudiant est calculé en multipliant ses notes par les coefficients respectifs, puis en additionnant les résultats. Le produit scalaire effectue ces deux opérations en une seule fois.

Calculez le produit scalaire entre exam_scores et coefficients pour obtenir les scores finaux des trois étudiants.

Solution

Passez à un bureau pour une pratique réelleContinuez d'où vous êtes en utilisant l'une des options ci-dessous

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 4. Chapitre 3

single

Demandez à l'IA

Posez n'importe quelle question ou essayez l'une des questions suggérées pour commencer notre discussion