Apprendre Implémentation de la Probabilité Conditionnelle et du Théorème de Bayes en Python

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interprétation : S'il pleut, il y a 50 % de chances d'arriver en retard au travail.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de déterminer $P(A|B)$ lorsqu'il est difficile de le mesurer directement, en le reliant à $P(B|A)$, qui est souvent plus simple à estimer.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Où :

$P(A \mid B)$ – probabilité de A sachant B (objectif recherché) ;
$P(B \mid A)$ – probabilité de B sachant A ;
$P(A)$ – probabilité a priori de A ;
$P(B)$ – probabilité totale de B.

Développement de $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interprétation : Même en cas de test positif, il n’y a qu’environ 16,7 % de chances d’être réellement atteint de la maladie.

Points clés

La probabilité conditionnelle détermine la probabilité que A se produise sachant que B s'est produit ;
Le théorème de Bayes inverse les probabilités conditionnelles pour mettre à jour les croyances lorsque la mesure directe est difficile ;
Les deux sont essentiels en science des données, en tests médicaux et en apprentissage automatique.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 5. Chapitre 4

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Suggested prompts:

Can you explain the difference between joint, marginal, and conditional probability?

How does Bayes' theorem help in real-world scenarios like medical testing?

Can you walk me through the calculations in the code examples step by step?

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Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interprétation : S'il pleut, il y a 50 % de chances d'arriver en retard au travail.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de déterminer $P(A|B)$ lorsqu'il est difficile de le mesurer directement, en le reliant à $P(B|A)$, qui est souvent plus simple à estimer.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Où :

$P(A \mid B)$ – probabilité de A sachant B (objectif recherché) ;
$P(B \mid A)$ – probabilité de B sachant A ;
$P(A)$ – probabilité a priori de A ;
$P(B)$ – probabilité totale de B.

Développement de $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interprétation : Même en cas de test positif, il n’y a qu’environ 16,7 % de chances d’être réellement atteint de la maladie.

Points clés

La probabilité conditionnelle détermine la probabilité que A se produise sachant que B s'est produit ;
Le théorème de Bayes inverse les probabilités conditionnelles pour mettre à jour les croyances lorsque la mesure directe est difficile ;
Les deux sont essentiels en science des données, en tests médicaux et en apprentissage automatique.

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Section 5. Chapitre 4