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Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interprétation : S'il pleut, il y a 50 % de chances d'arriver en retard au travail.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de déterminer $P(A|B)$ lorsqu'il est difficile à mesurer directement, en le reliant à $P(B|A)$, qui est souvent plus facile à estimer.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Où :

$P(A \mid B)$ – probabilité de A sachant B (objectif) ;
$P(B \mid A)$ – probabilité de B sachant A ;
$P(A)$ – probabilité a priori de A ;
$P(B)$ – probabilité totale de B.

Développement de $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interprétation : Même si le test est positif, il n’y a qu’environ 16,7 % de chances que vous ayez réellement la maladie.

Points clés à retenir

La probabilité conditionnelle détermine la chance que A se produise sachant que B est déjà arrivé ;
Le théorème de Bayes inverse les probabilités conditionnelles pour mettre à jour les croyances lorsque la mesure directe est difficile ;
Les deux sont essentiels en science des données, tests médicaux et apprentissage automatique.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 5. Chapitre 4

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Implémentation de la Probabilité Conditionnelle et du Théorème de Bayes en Python

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise étant donné qu'un autre événement s'est déjà produit.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interprétation : S'il pleut, il y a 50 % de chances d'arriver en retard au travail.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de déterminer $P(A|B)$ lorsqu'il est difficile à mesurer directement, en le reliant à $P(B|A)$, qui est souvent plus facile à estimer.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Où :

$P(A \mid B)$ – probabilité de A sachant B (objectif) ;
$P(B \mid A)$ – probabilité de B sachant A ;
$P(A)$ – probabilité a priori de A ;
$P(B)$ – probabilité totale de B.

Développement de $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interprétation : Même si le test est positif, il n’y a qu’environ 16,7 % de chances que vous ayez réellement la maladie.

Points clés à retenir

La probabilité conditionnelle détermine la chance que A se produise sachant que B est déjà arrivé ;
Le théorème de Bayes inverse les probabilités conditionnelles pour mettre à jour les croyances lorsque la mesure directe est difficile ;
Les deux sont essentiels en science des données, tests médicaux et apprentissage automatique.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 5. Chapitre 4