Apprendre Comprendre les Bases de la Probabilité

Définition

Probabilité désigne la mesure de la vraisemblance qu’un événement se produise. Elle quantifie l’incertitude et s’avère essentielle dans des domaines tels que la science des données, les statistiques et l’apprentissage automatique, permettant d’analyser des schémas, de formuler des prédictions et d’évaluer les risques.

Définition de base de la probabilité

La probabilité d’un événement $A$ est donnée par :

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Cette formule indique combien de façons notre événement souhaité peut se produire par rapport à tous les résultats possibles. La probabilité varie toujours de 0 (impossible) à 1 (certain).

Comprendre l’espace échantillon et les événements

Espace échantillon – ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience ;
Événement – résultat spécifique ou ensemble de résultats d’intérêt.

Exemple avec le lancer d’une pièce :

Espace échantillon = {Heads, Tails} ;
Événement A = {Heads} .

Alors :

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Règle de l’union : « A OU B se produit »

Définition : l’union de deux événements $A \cup B$ représente les issues où soit $A$ se produit, soit $B$ se produit, soit les deux se produisent.

Formule :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

On soustrait l’intersection pour éviter de compter deux fois les issues qui apparaissent dans les deux événements.

Exemple d’union : lancer un dé

Considérons le lancer d’un dé à six faces :

Événement A = {1, 2, 3} (obtenir un petit nombre)
Événement B = {2, 4, 6} (obtenir un nombre pair)

Union et intersection :

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Calculs étape par étape :

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Application de la formule de l’union :

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Règle de l’intersection : « A ET B se produisent tous les deux »

Définition : l’intersection de deux événements $A \cap B$ représente les issues où $A$ et $B$ se produisent simultanément.

Formule générale

Dans tous les cas :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

où $P(B|A)$ est la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ s’est déjà produit.

Cas 1 : Événements indépendants

Si les événements ne s'influencent pas mutuellement (par exemple, lancer une pièce et lancer un dé) :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Exemple :

$P(\text{Face sur une pièce}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 sur un dé}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Alors :

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Cas 2 : Événements dépendants

Si le résultat du premier événement influence le second (par exemple, tirer des cartes sans remise) :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Exemple :

$P(\text{première carte est un As}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{deuxième carte est un As | la première carte était un As}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Alors :

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 5. Chapitre 1

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Définition

Définition de base de la probabilité

La probabilité d’un événement $A$ est donnée par :

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Comprendre l’espace échantillon et les événements

Espace échantillon – ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience ;
Événement – résultat spécifique ou ensemble de résultats d’intérêt.

Exemple avec le lancer d’une pièce :

Espace échantillon = {Heads, Tails} ;
Événement A = {Heads} .

Alors :

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Règle de l’union : « A OU B se produit »

Définition : l’union de deux événements $A \cup B$ représente les issues où soit $A$ se produit, soit $B$ se produit, soit les deux se produisent.

Formule :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

On soustrait l’intersection pour éviter de compter deux fois les issues qui apparaissent dans les deux événements.

Exemple d’union : lancer un dé

Considérons le lancer d’un dé à six faces :

Événement A = {1, 2, 3} (obtenir un petit nombre)
Événement B = {2, 4, 6} (obtenir un nombre pair)

Union et intersection :

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Calculs étape par étape :

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Application de la formule de l’union :

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Règle de l’intersection : « A ET B se produisent tous les deux »

Définition : l’intersection de deux événements $A \cap B$ représente les issues où $A$ et $B$ se produisent simultanément.

Formule générale

Dans tous les cas :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

où $P(B|A)$ est la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ s’est déjà produit.

Cas 1 : Événements indépendants

Si les événements ne s'influencent pas mutuellement (par exemple, lancer une pièce et lancer un dé) :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Exemple :

$P(\text{Face sur une pièce}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 sur un dé}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Alors :

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Cas 2 : Événements dépendants

Si le résultat du premier événement influence le second (par exemple, tirer des cartes sans remise) :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Exemple :

$P(\text{première carte est un As}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{deuxième carte est un As | la première carte était un As}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Alors :

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

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