Apprendre Compréhension de la Probabilité Conditionnelle et du Théorème de Bayes

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

où :

$P(A \mid B)$ signifie « la probabilité de A sachant B » ;
$P(A \cap B)$ est la probabilité que A et B se produisent tous les deux ;
$P(B)$ est la probabilité que B se produise (doit être > 0).

Exemple 1 : Probabilité conditionnelle — Météo et circulation

Supposons :

Événement A : « Je suis en retard au travail » ;
Événement B : « Il pleut ».

Donné :

$P(A \cap B) = 0.10$ (10 % de chance qu'il pleuve ET que je sois en retard) ;
$P(B) = 0.20$ (20 % de chance qu'il pleuve un jour donné).

Alors :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Interprétation :
S'il pleut, il y a 50 % de chance que je sois en retard au travail.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de trouver $P(A \mid B)$ lorsqu'il est difficile de le mesurer directement, en le reliant à $P(B \mid A)$ .

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Décomposition étape par étape

Étape 1 : Compréhension de $P(A \mid B)$
Cela se lit comme « la probabilité de A sachant B ».

Exemple : Si A = « avoir une maladie » et B = « tester positif », alors $P(A \mid B)$ signifie :
Étant donné un test positif, quelles sont les chances que la personne ait réellement la maladie ?

Étape 2 : Numérateur = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = probabilité de tester positif si la personne a la maladie (sensibilité du test) ;
$P(A)$ = probabilité a priori de A (prévalence de la maladie).

Étape 3 : Dénominateur = $P(B)$
Ceci représente la probabilité totale que B se produise (tester positif), provenant à la fois des vrais positifs et des faux positifs.

Développé :

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Où :

$P(B \mid \neg A)$ = taux de faux positifs ;
$P(\neg A)$ = probabilité de ne pas avoir la maladie.

Théorème de Bayes — Test médical

Supposons :

Événement A : « Avoir une maladie » ;
Événement B : « Être testé positif ».

Donné :

Prévalence de la maladie : $P(A) = 0.01$ ;
Sensibilité : $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Taux de faux positifs : $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Étape 1 : Calcul de la probabilité totale d'obtenir un résultat positif

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Étape 2 : Application du théorème de Bayes

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Interprétation :
Même en cas de résultat positif, il n’y a qu’environ 16,7 % de chances d’avoir réellement la maladie — car la maladie est rare et il existe des faux positifs.

Points clés

La probabilité conditionnelle détermine la probabilité que A se produise sachant que B s'est déjà produit ;
Le théorème de Bayes inverse les probabilités conditionnelles, permettant de mettre à jour les croyances lorsque la mesure directe est difficile ;
Ces deux concepts sont essentiels en science des données, apprentissage automatique, tests médicaux et prise de décision.

Note

Considérez le théorème de Bayes ainsi : « La probabilité de A sachant B est égale à la probabilité que B se produise si A est vrai, multipliée par la probabilité de A, divisée par la probabilité totale de B. »

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 5. Chapitre 3

Demandez à l'IA

Posez n'importe quelle question ou essayez l'une des questions suggérées pour commencer notre discussion

Suggested prompts:

Can you explain the difference between conditional probability and Bayes' theorem in simple terms?

Can you give another real-life example of conditional probability?

How does the rarity of a disease affect the interpretation of a positive test result?

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Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la chance qu'un événement se produise sachant qu'un autre événement s'est déjà produit.

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

où :

$P(A \mid B)$ signifie « la probabilité de A sachant B » ;
$P(A \cap B)$ est la probabilité que A et B se produisent tous les deux ;
$P(B)$ est la probabilité que B se produise (doit être > 0).

Exemple 1 : Probabilité conditionnelle — Météo et circulation

Supposons :

Événement A : « Je suis en retard au travail » ;
Événement B : « Il pleut ».

Donné :

$P(A \cap B) = 0.10$ (10 % de chance qu'il pleuve ET que je sois en retard) ;
$P(B) = 0.20$ (20 % de chance qu'il pleuve un jour donné).

Alors :

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Interprétation :
S'il pleut, il y a 50 % de chance que je sois en retard au travail.

Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes permet de trouver $P(A \mid B)$ lorsqu'il est difficile de le mesurer directement, en le reliant à $P(B \mid A)$ .

Formule :

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Décomposition étape par étape

Étape 1 : Compréhension de $P(A \mid B)$
Cela se lit comme « la probabilité de A sachant B ».

Étape 2 : Numérateur = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = probabilité de tester positif si la personne a la maladie (sensibilité du test) ;
$P(A)$ = probabilité a priori de A (prévalence de la maladie).

Étape 3 : Dénominateur = $P(B)$
Ceci représente la probabilité totale que B se produise (tester positif), provenant à la fois des vrais positifs et des faux positifs.

Développé :

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Où :

$P(B \mid \neg A)$ = taux de faux positifs ;
$P(\neg A)$ = probabilité de ne pas avoir la maladie.

Théorème de Bayes — Test médical

Supposons :

Événement A : « Avoir une maladie » ;
Événement B : « Être testé positif ».

Donné :

Prévalence de la maladie : $P(A) = 0.01$ ;
Sensibilité : $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Taux de faux positifs : $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Étape 1 : Calcul de la probabilité totale d'obtenir un résultat positif

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Étape 2 : Application du théorème de Bayes

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Interprétation :
Même en cas de résultat positif, il n’y a qu’environ 16,7 % de chances d’avoir réellement la maladie — car la maladie est rare et il existe des faux positifs.

Points clés

La probabilité conditionnelle détermine la probabilité que A se produise sachant que B s'est déjà produit ;
Le théorème de Bayes inverse les probabilités conditionnelles, permettant de mettre à jour les croyances lorsque la mesure directe est difficile ;
Ces deux concepts sont essentiels en science des données, apprentissage automatique, tests médicaux et prise de décision.

Note

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Section 5. Chapitre 3