Fonctions Algébriques

Types et comportements

1. Fonction identité

Forme : $f(x) = x$

Comportement :

• Passe par l'origine $(0, 0)$ ;
• Ligne droite de pente $m = 1$ ;
• Chaque entrée est associée à elle-même ;
• Aucun maximum ni minimum ;
• Domaine : $(-\infty, \infty)$ ;
• Image : $(-\infty, \infty)$.

Cas d'utilisation : représentation de données inchangées ou comme référence dans les transformations.

2. Fonction constante

Forme : $f(x) = c$

Comportement :

• Ligne horizontale à $y = c$ ;
• La sortie reste constante pour toutes les entrées ;
• Pente : $m = 0$ ;
• Aucun maximum ni minimum ;
• Domaine : $(-\infty, \infty)$ ;
• Image : ${c}$.

Cas d'utilisation : représentation de quantités fixes telles que des valeurs de référence ou des frais forfaitaires.

3. Fonction linéaire

Forme : $f(x) = mx + b$

Comportement :

• Ligne droite de pente $m$ ;
• Croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$ ;
• Abscisse à l'origine : $x = -\frac{b}{m}$ ;
• Ordonnée à l'origine : $y = b$ ;
• Aucun maximum ni minimum ;
• Domaine : $(-\infty, \infty)$ ;
• Image : $(-\infty, \infty)$.

Cas d'utilisation : prédiction de résultats continus tels que le chiffre d'affaires ou les coûts.

4. Fonction polynomiale (exemple quadratique)

Forme : $f(x) = ax^2 + bx + c$

Comportement :

• Courbe parabolique (en U si $a > 0$ ; en U inversé si $a < 0$) ;
• Sommet en $x = -\frac{b}{2a}$ ;
• Zéros (racines) : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ;
• Ordonnée à l'origine : $f(0) = c$ ;
• Domaine : $(-\infty, \infty)$ ;
• Image :
• Si $a > 0$, alors $[y_{vertex}; \infty)$ ;
  • Si $a < 0$, alors $(-\infty; y_{vertex}]$.

Cas d'utilisation : ajustement de courbes, modèles de régression et description de tendances non linéaires.

5. Fonction rationnelle

Forme : $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Exemple : $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Comportement :

• Asymptote verticale en $x = 1$ ;
• Asymptote horizontale en $y = 0$ ;
• Non définie en $x = 1$ ;
• Forte augmentation et diminution près de l'asymptote ;
• Domaine : $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$ ;
• Image : $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Cas d'utilisation : modélisation de systèmes contraints tels que les taux de variation ou l'utilisation des ressources.