Contrairement aux fonctions précédentes, les fonctions rationnelles nécessitent une attention particulière lors de leur tracé en Python. Étant donné qu'elles possèdent des points indéfinis et des valeurs infinies, il est nécessaire de diviser le domaine afin d'éviter les erreurs.

1. Définition de la fonction

Nous définissons notre fonction rationnelle comme suit :

def rational_function(x):
    return 1 / (x - 1)

Points clés à considérer :

• $x = 1$ doit être exclu des calculs pour éviter une division par zéro ;
• La fonction sera divisée en deux domaines (à gauche et à droite de $x = 1$).

2. Séparation du domaine

Pour éviter la division par zéro, deux ensembles distincts de valeurs de x sont générés :

x_left = np.linspace(-4, 0.99, 250)  # Left of x = 1
x_right = np.linspace(1.01, 4, 250)  # Right of x = 1

Les valeurs 0.99 et 1.01 garantissent que $x = 1$ n'est jamais inclus, évitant ainsi les erreurs.

3. Tracé de la fonction

plt.plot(x_left, y_left, color='blue', linewidth=2, label=r"$f(x) = \frac{1}{x - 1}$")
plt.plot(x_right, y_right, color='blue', linewidth=2)

La fonction présente un saut en $x = 1$, il est donc nécessaire de la tracer en deux parties.

4. Marquage des asymptotes et des points d'interception

• Asymptote verticale ($x = 1$) :

plt.axvline(1, color='red', linestyle='--',
            linewidth=1, label="Vertical Asymptote (x=1)")

• Asymptote horizontale ($y = 0$) :

plt.axhline(0, color='green', linestyle='--', 
            linewidth=1, label="Horizontal Asymptote (y=0)")

• Ordonnée à l'origine pour $x = 0$:

y_intercept = rational_function(0)
plt.scatter(0, y_intercept, color='purple', label="Y-Intercept")

5. Ajout de flèches directionnelles

Pour indiquer que la fonction s'étend à l'infini :

plt.annotate('', xy=(x_right[-1], y_right[-1]), xytext=(x_right[-2], y_right[-2]), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='blue', linewidth=1.5))