Apprendre Fonctions Transcendantes | Fonctions et Leurs Propriétés

Définition

Les fonctions transcendantes sont des fonctions qui ne peuvent pas être exprimées comme une combinaison finie d'opérations algébriques (par exemple, addition, soustraction, multiplication, division et racines).

Types et comportements

1. Fonction exponentielle

Forme :

f(x) = a \cdot e^{b(x - c)} + d

$a$ : amplitude, ajuste la courbe verticalement ;
$b$ : taux de croissance ou de décroissance, définit la rapidité d'augmentation ou de diminution de la fonction ;
$c$ : décalage horizontal, déplace la courbe vers la gauche ou la droite ;
$d$ : décalage vertical, déplace le graphe vers le haut ou le bas.

Comportement :

Augmente rapidement lorsque $b > 0$ ;
Décroît vers zéro lorsque $b < 0$ ;
Toujours positive pour tout $x$ ;
Passe par le point $(c, a + d)$ ;
Domaine : $(-\infty, \infty)$ ;
Image : $(d, \infty)$ si $a > 0$ , ou $(-\infty, d)$ si $a < 0$ .

Cas d'utilisation : modélisation de la croissance d'une population, de la désintégration radioactive et des intérêts composés.

2. Fonction logarithmique

Forme :

f(x) = a \log_b(x - c) + d

$a$ : amplitude, étire ou comprime la courbe verticalement ;
$b$ : base, détermine le taux de croissance ou de décroissance ;
$c$ : décalage horizontal, déplace le graphe vers la gauche ou la droite ;
$d$ : décalage vertical, déplace le graphe vers le haut ou le bas.

Comportement :

Définie uniquement pour $x > c$ ;
Augmente lentement lorsque $x$ croît ;
Tends vers moins l'infini près de $x = c$ ;
Passe par le point $(c + 1, d)$ ;
Domaine : $(c, \infty)$ ;
Image : $(-\infty, \infty)$ .

Cas d'utilisation : mesure de données à changement multiplicatif, telles que le pH, l'intensité sonore ou la magnitude d'un séisme.

3. Fonction trigonométrique

Forme :

f(x) = a \cdot \text{trig}(b x - c) + d

où $\text{trig}$ peut être $\sin$ , $\cos$ ou $\tan$ .

$a$ : amplitude, contrôle la hauteur de l’onde ;
$b$ : cycles, définit le nombre d’oscillations dans une période ;
$c$ : décalage horizontal, déplace l’onde vers la gauche ou la droite ;
$d$ : décalage vertical, déplace le graphe vers le haut ou le bas.

Comportement :

Sinus et cosinus : oscillent périodiquement entre $-a + d$ et $a + d$ ;
Tangente : se répète tous les $\pi$ et possède des asymptotes verticales en $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$ ;
Toutes sont périodiques et continues dans leurs domaines ;
Domaine et image :
- $\sin(x), \cos(x)$ : domaine $(-\infty, \infty)$ , image $[d - a, d + a]$ ;
- $\tan(x)$ : domaine $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$ , image $(-\infty, \infty)$ .

Cas d’utilisation : modélisation des cycles et oscillations en traitement du signal, physique et ingénierie.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 1. Chapitre 8

Demandez à l'IA

Posez n'importe quelle question ou essayez l'une des questions suggérées pour commencer notre discussion

Suggested prompts:

Can you explain the differences between exponential, logarithmic, and trigonometric functions in more detail?

What are some real-world examples where each type of transcendental function is used?

Can you show how to graph these functions with specific parameter values?

Awesome!

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Définition

Types et comportements

1. Fonction exponentielle

Forme :

f(x) = a \cdot e^{b(x - c)} + d

$a$ : amplitude, ajuste la courbe verticalement ;
$b$ : taux de croissance ou de décroissance, définit la rapidité d'augmentation ou de diminution de la fonction ;
$c$ : décalage horizontal, déplace la courbe vers la gauche ou la droite ;
$d$ : décalage vertical, déplace le graphe vers le haut ou le bas.

Comportement :

Augmente rapidement lorsque $b > 0$ ;
Décroît vers zéro lorsque $b < 0$ ;
Toujours positive pour tout $x$ ;
Passe par le point $(c, a + d)$ ;
Domaine : $(-\infty, \infty)$ ;
Image : $(d, \infty)$ si $a > 0$ , ou $(-\infty, d)$ si $a < 0$ .

Cas d'utilisation : modélisation de la croissance d'une population, de la désintégration radioactive et des intérêts composés.

2. Fonction logarithmique

Forme :

f(x) = a \log_b(x - c) + d

$a$ : amplitude, étire ou comprime la courbe verticalement ;
$b$ : base, détermine le taux de croissance ou de décroissance ;
$c$ : décalage horizontal, déplace le graphe vers la gauche ou la droite ;
$d$ : décalage vertical, déplace le graphe vers le haut ou le bas.

Comportement :

Définie uniquement pour $x > c$ ;
Augmente lentement lorsque $x$ croît ;
Tends vers moins l'infini près de $x = c$ ;
Passe par le point $(c + 1, d)$ ;
Domaine : $(c, \infty)$ ;
Image : $(-\infty, \infty)$ .

Cas d'utilisation : mesure de données à changement multiplicatif, telles que le pH, l'intensité sonore ou la magnitude d'un séisme.

3. Fonction trigonométrique

Forme :

f(x) = a \cdot \text{trig}(b x - c) + d

où $\text{trig}$ peut être $\sin$ , $\cos$ ou $\tan$ .

$a$ : amplitude, contrôle la hauteur de l’onde ;
$b$ : cycles, définit le nombre d’oscillations dans une période ;
$c$ : décalage horizontal, déplace l’onde vers la gauche ou la droite ;
$d$ : décalage vertical, déplace le graphe vers le haut ou le bas.

Comportement :

Sinus et cosinus : oscillent périodiquement entre $-a + d$ et $a + d$ ;
Tangente : se répète tous les $\pi$ et possède des asymptotes verticales en $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$ ;
Toutes sont périodiques et continues dans leurs domaines ;
Domaine et image :
- $\sin(x), \cos(x)$ : domaine $(-\infty, \infty)$ , image $[d - a, d + a]$ ;
- $\tan(x)$ : domaine $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$ , image $(-\infty, \infty)$ .

Cas d’utilisation : modélisation des cycles et oscillations en traitement du signal, physique et ingénierie.

Tout était clair ?

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