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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Introduction Aux Transformations Matricielles | Fondements de l'Algèbre Linéaire
Mathématiques pour la Science des Données

bookIntroduction Aux Transformations Matricielles

Équations matricielles

Une équation matricielle peut s'écrire comme suit :

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Où :

  • AA est la matrice des coefficients ;
  • x⃗\vec{x} est le vecteur des variables ;
  • b⃗\vec{b} est le vecteur des constantes.

Représentation matricielle des systèmes linéaires

Considérons le système linéaire :

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Cela peut être réécrit comme :

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Décomposition de la multiplication matricielle

La multiplication d'une matrice par un vecteur représente une combinaison linéaire :

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Exemple de système sous forme matricielle

Le système :

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Peut s'exprimer comme :

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices comme transformations

Une matrice transforme des vecteurs dans l'espace.

Par exemple :

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Cette matrice définit la transformation des axes lors de la multiplication.

Mise à l'échelle avec des matrices

Pour appliquer une mise à l'échelle à un vecteur, utiliser :

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Où :

  • sxs_x - facteur d'échelle dans la direction x ;
  • sys_y - facteur d'échelle dans la direction y.

Exemple : mise à l'échelle du point (2, 3) par 2 :

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Alors :

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation avec des matrices

Pour faire tourner un vecteur d'un angle θ\theta autour de l'origine :

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exemple : rotation de (2, 3) de 90° :

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Alors :

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Réflexion par rapport à l’axe x

Matrice de réflexion :

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

En utilisant v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3) :

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Transformation de cisaillement (cisaillement selon x)

Le cisaillement décale un axe en fonction de l’autre.

Pour cisailler selon l’axe x :

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Si k=1.5k = 1.5 et v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3) :

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Transformation identité

La matrice identité n'effectue aucune transformation :

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Pour tout vecteur v⃗\vec{v} :

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Quelle est la forme matricielle de ce système d'équations ?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

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Merci pour vos commentaires !

Section 4. Chapitre 5

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Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

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Équations matricielles

Une équation matricielle peut s'écrire comme suit :

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Où :

  • AA est la matrice des coefficients ;
  • x⃗\vec{x} est le vecteur des variables ;
  • b⃗\vec{b} est le vecteur des constantes.

Représentation matricielle des systèmes linéaires

Considérons le système linéaire :

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Cela peut être réécrit comme :

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Décomposition de la multiplication matricielle

La multiplication d'une matrice par un vecteur représente une combinaison linéaire :

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Exemple de système sous forme matricielle

Le système :

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Peut s'exprimer comme :

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices comme transformations

Une matrice transforme des vecteurs dans l'espace.

Par exemple :

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Cette matrice définit la transformation des axes lors de la multiplication.

Mise à l'échelle avec des matrices

Pour appliquer une mise à l'échelle à un vecteur, utiliser :

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Où :

  • sxs_x - facteur d'échelle dans la direction x ;
  • sys_y - facteur d'échelle dans la direction y.

Exemple : mise à l'échelle du point (2, 3) par 2 :

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Alors :

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotation avec des matrices

Pour faire tourner un vecteur d'un angle θ\theta autour de l'origine :

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Exemple : rotation de (2, 3) de 90° :

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Alors :

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Réflexion par rapport à l’axe x

Matrice de réflexion :

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

En utilisant v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3) :

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Transformation de cisaillement (cisaillement selon x)

Le cisaillement décale un axe en fonction de l’autre.

Pour cisailler selon l’axe x :

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Si k=1.5k = 1.5 et v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3) :

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Transformation identité

La matrice identité n'effectue aucune transformation :

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Pour tout vecteur v⃗\vec{v} :

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Quelle est la forme matricielle de ce système d'équations ?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

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