Que sont les vecteurs propres et les valeurs propres ?

Un vecteur propre est un vecteur non nul qui ne change que de magnitude lorsqu'une matrice lui est appliquée. La valeur scalaire correspondante qui décrit ce changement est la valeur propre.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Où :

• $A$ est une matrice carrée ;
• $\lambda$ est la valeur propre ;
• $\vec{v}$ est le vecteur propre.

Exemple de matrice et configuration

Supposons :

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Nous souhaitons trouver les valeurs de $\lambda$ et les vecteurs $\vec{v}$ tels que :

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Équation caractéristique

Pour déterminer $\lambda$, résoudre l'équation caractéristique :

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Substitution :

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Calcul du déterminant :

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Résolution :

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Recherche des vecteurs propres

Résolution pour chaque valeur de $\lambda$.

Pour $\lambda = 5$ :

Soustraction :

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Résolution :

$$v_1 = v_2$$

Donc :

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Pour $\lambda = 2$ :

Soustraction :

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Résolution :

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Donc :

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Confirmer le couple propre

Une fois que vous avez une valeur propre $\lambda$ et un vecteur propre $\vec{v}$, vérifiez que :

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Exemple :

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Exemple :

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

est aussi un vecteur propre pour $\lambda = 5$.

Diagonalisation (Avancé)

Si une matrice $A$ possède $n$ vecteurs propres linéairement indépendants, alors elle peut être diagonalisée :

$$A = PDP^{-1}$$

Où :

• $P$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres ;
• $D$ est une matrice diagonale contenant les valeurs propres ;
• $P^{-1}$ est l'inverse de $P$.

Vous pouvez confirmer la diagonalisation en vérifiant $A = PDP^{-1}$.
Ceci est utile pour calculer les puissances de $A$ :

Exemple

Soit :

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Trouver les valeurs propres :

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Résoudre :

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Trouver les vecteurs propres :

Pour $\lambda = 3$ :

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Pour $\lambda = 2$ :

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Construire $P, D$ et $P^{-1}$ :

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Calculer :

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Confirmé.

Pourquoi c'est important :

Pour calculer les puissances de $A$, comme $A^k$. Puisque $D$ est diagonale :

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Cela rend le calcul des puissances de matrices beaucoup plus rapide.

Notes importantes

• Les valeurs propres et les vecteurs propres sont des directions qui restent inchangées sous la transformation ;
• $\lambda$ étire $\vec{v}$ ;
• $\lambda = 1$ garde $\vec{v}$ inchangé en norme.