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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Introductions aux Vecteurs | Fondements de l'Algèbre Linéaire
Mathématiques pour la Science des Données

bookIntroductions aux Vecteurs

Note
Définition

Un vecteur est un objet mathématique qui représente à la fois une direction et une magnitude dans l’espace. En science des données, les vecteurs sont utilisés pour décrire des points de données, des caractéristiques et des paramètres de modèles tels que les poids.

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Un vecteur est un couple ordonné de nombres possédant à la fois une magnitude et une direction.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Les vecteurs sont souvent représentés par des flèches partant de l’origine vers un point dans l’espace. Deux vecteurs sont considérés comme égaux s’ils ont la même direction et la même longueur, même s’ils commencent à des emplacements différents.

Le vecteur nul

Le vecteur nul n’a ni longueur ni direction. Il s’écrit :

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Addition et soustraction de vecteurs

Addition

Pour additionner deux vecteurs, additionner leurs composantes correspondantes :

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Visualisation possible avec :

  • Méthode du bout à bout : déplacer l'origine d'un vecteur à l'extrémité de l'autre ;
  • Méthode du parallélogramme : les deux vecteurs partent du même point et forment un parallélogramme.

Soustraction

Pour soustraire un vecteur d'un autre :

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Cela donne un nouveau vecteur pointant de l'extrémité du second vers l'extrémité du premier.

Multiplication scalaire

Multiplier un vecteur par un nombre (un scalaire) étire ou inverse le vecteur :

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Si k>1k > 1, le vecteur est étiré dans la même direction ;
  • Si 0<k<10 < k < 1, le vecteur est contracté ;
  • Si k<0k < 0, il change de direction ;
  • Si k=0k = 0, il devient le vecteur nul.

Module (Longueur) d’un vecteur

Le module ou la longueur d’un vecteur se calcule à l’aide du théorème de Pythagore :

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Cela donne la distance en ligne droite de l’origine à l’extrémité du vecteur.

Le produit scalaire

Le produit scalaire combine deux vecteurs en un seul nombre qui reflète leur alignement :

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Si le résultat est positif : les vecteurs pointent dans une direction similaire ;
  • Si le résultat est zéro : les vecteurs sont perpendiculaires ;
  • Si le résultat est négatif : ils pointent dans des directions opposées.

Exemple

Si a⃗=(1,2)  et  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{et}\ \ \vec{b} = (3, 4), alors :

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Si a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Alors leur produit scalaire est :

Select the correct answer

Tout était clair ?

Comment pouvons-nous l'améliorer ?

Merci pour vos commentaires !

Section 4. Chapitre 1

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Can you explain the difference between the head-to-tail and parallelogram methods for vector addition?

How do you find the magnitude of a vector using its components?

Can you give an example of vector subtraction with numbers?

Awesome!

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Définition

Un vecteur est un objet mathématique qui représente à la fois une direction et une magnitude dans l’espace. En science des données, les vecteurs sont utilisés pour décrire des points de données, des caractéristiques et des paramètres de modèles tels que les poids.

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Un vecteur est un couple ordonné de nombres possédant à la fois une magnitude et une direction.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Les vecteurs sont souvent représentés par des flèches partant de l’origine vers un point dans l’espace. Deux vecteurs sont considérés comme égaux s’ils ont la même direction et la même longueur, même s’ils commencent à des emplacements différents.

Le vecteur nul

Le vecteur nul n’a ni longueur ni direction. Il s’écrit :

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Addition et soustraction de vecteurs

Addition

Pour additionner deux vecteurs, additionner leurs composantes correspondantes :

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Visualisation possible avec :

  • Méthode du bout à bout : déplacer l'origine d'un vecteur à l'extrémité de l'autre ;
  • Méthode du parallélogramme : les deux vecteurs partent du même point et forment un parallélogramme.

Soustraction

Pour soustraire un vecteur d'un autre :

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Cela donne un nouveau vecteur pointant de l'extrémité du second vers l'extrémité du premier.

Multiplication scalaire

Multiplier un vecteur par un nombre (un scalaire) étire ou inverse le vecteur :

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Si k>1k > 1, le vecteur est étiré dans la même direction ;
  • Si 0<k<10 < k < 1, le vecteur est contracté ;
  • Si k<0k < 0, il change de direction ;
  • Si k=0k = 0, il devient le vecteur nul.

Module (Longueur) d’un vecteur

Le module ou la longueur d’un vecteur se calcule à l’aide du théorème de Pythagore :

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Cela donne la distance en ligne droite de l’origine à l’extrémité du vecteur.

Le produit scalaire

Le produit scalaire combine deux vecteurs en un seul nombre qui reflète leur alignement :

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Si le résultat est positif : les vecteurs pointent dans une direction similaire ;
  • Si le résultat est zéro : les vecteurs sont perpendiculaires ;
  • Si le résultat est négatif : ils pointent dans des directions opposées.

Exemple

Si a⃗=(1,2)  et  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{et}\ \ \vec{b} = (3, 4), alors :

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
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Si a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Alors leur produit scalaire est :

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