Apprendre Opérations sur les Matrices | Fondements de l'Algèbre Linéaire

Définition

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres disposés en lignes et en colonnes, utilisé pour représenter et résoudre efficacement des problèmes mathématiques.

Avant d'aborder les systèmes linéaires, tels que $A\vec{x} = \vec{b}$ , il est essentiel de comprendre le comportement des matrices et les opérations que l'on peut effectuer sur elles.

Addition de matrices

Deux matrices ne peuvent être additionnées que si elles ont la même forme (même nombre de lignes et de colonnes).

Soient :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Alors :

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Multiplication par un scalaire

Il est également possible de multiplier une matrice par un scalaire (un seul nombre) :

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Multiplication de matrices et compatibilité des dimensions

La multiplication de matrices est une opération ligne-par-colonne, et non élément par élément.

Règle : si la matrice $A$ est de dimension $(m \times n)$ et la matrice $B$ est de dimension $(n \times p)$ , alors :

La multiplication $AB$ est possible ;
Le résultat sera une matrice de dimension $(m \times p)$ .

Exemple :

Soit :

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ est $(2 \times 2)$ et $B$ est $(2 \times 1)$ , donc $AB$ est possible et donne une matrice $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transposée d'une matrice

La transposée d'une matrice échange les lignes et les colonnes. Elle se note $A^T$ .

Soit :

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Alors :

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Propriétés :

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Déterminant d'une matrice

Matrice 2×2

Pour :

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Le déterminant est :

\det(A) = ad - bc

Matrice 3×3

Pour :

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Le déterminant est :

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Cette méthode est appelée développement par les cofacteurs.

Les matrices de taille supérieure (4×4 et plus) peuvent être développées de manière récursive.
Le déterminant est utile car il indique si une matrice possède une inverse (déterminant non nul).

Inverse d'une matrice

L'inverse d'une matrice carrée $A$ se note $A^{-1}$ . Elle satisfait $A \cdot A^{-1} = I$ , où $I$ est la matrice identité.

Seules les matrices carrées dont le déterminant est non nul possèdent une inverse.

Exemple :

Si la matrice A est :

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Alors sa matrice inverse $A^{-1}$ est :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Où $\det(A) \neq 0$ .

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 4. Chapitre 3

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Suggested prompts:

Can you explain why matrix multiplication is not element-wise?

How do you find the determinant of larger matrices?

What is the significance of the inverse of a matrix?

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Définition

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres disposés en lignes et en colonnes, utilisé pour représenter et résoudre efficacement des problèmes mathématiques.

Avant d'aborder les systèmes linéaires, tels que $A\vec{x} = \vec{b}$ , il est essentiel de comprendre le comportement des matrices et les opérations que l'on peut effectuer sur elles.

Addition de matrices

Deux matrices ne peuvent être additionnées que si elles ont la même forme (même nombre de lignes et de colonnes).

Soient :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Alors :

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Multiplication par un scalaire

Il est également possible de multiplier une matrice par un scalaire (un seul nombre) :

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Multiplication de matrices et compatibilité des dimensions

La multiplication de matrices est une opération ligne-par-colonne, et non élément par élément.

Règle : si la matrice $A$ est de dimension $(m \times n)$ et la matrice $B$ est de dimension $(n \times p)$ , alors :

La multiplication $AB$ est possible ;
Le résultat sera une matrice de dimension $(m \times p)$ .

Exemple :

Soit :

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ est $(2 \times 2)$ et $B$ est $(2 \times 1)$ , donc $AB$ est possible et donne une matrice $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transposée d'une matrice

La transposée d'une matrice échange les lignes et les colonnes. Elle se note $A^T$ .

Soit :

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Alors :

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Propriétés :

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Déterminant d'une matrice

Matrice 2×2

Pour :

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Le déterminant est :

\det(A) = ad - bc

Matrice 3×3

Pour :

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Le déterminant est :

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Cette méthode est appelée développement par les cofacteurs.

Les matrices de taille supérieure (4×4 et plus) peuvent être développées de manière récursive.
Le déterminant est utile car il indique si une matrice possède une inverse (déterminant non nul).

Inverse d'une matrice

L'inverse d'une matrice carrée $A$ se note $A^{-1}$ . Elle satisfait $A \cdot A^{-1} = I$ , où $I$ est la matrice identité.

Seules les matrices carrées dont le déterminant est non nul possèdent une inverse.

Exemple :

Si la matrice A est :

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Alors sa matrice inverse $A^{-1}$ est :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Où $\det(A) \neq 0$ .

Tout était clair ?

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