Apprendre Implémentation de la Transformation Matricielle en Python

Résolution d’un système linéaire

Nous définissons un système d’équations :

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Ceci se réécrit comme suit :


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Cela permet de trouver les valeurs de $x$ et $y$ qui satisfont les deux équations.

Importance : la résolution de systèmes d’équations est fondamentale en science des données, que ce soit pour l’ajustement de modèles linéaires ou la résolution de contraintes d’optimisation.

Application des transformations linéaires

Nous définissons un vecteur :

v = np.array([[2], [3]])

Puis nous appliquons deux transformations :

Homothétie

Nous étirons $x$ par 2 et comprimons $y$ par 0,5 :

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Cela effectue :

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Rotation

Nous faisons pivoter le vecteur de $90°$ dans le sens antihoraire à l'aide de la matrice de rotation :

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Ce qui donne :

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Visualisation des transformations

À l'aide de matplotlib, chaque vecteur est tracé depuis l'origine, avec ses coordonnées annotées :


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Pourquoi c'est important : les flux de travail en science des données incluent souvent des transformations, par exemple :

Analyse en Composantes Principales - fait pivoter les données ;
Normalisation des caractéristiques - met à l'échelle les axes ;
Réduction de dimensionnalité - projections.

En visualisant les vecteurs et leurs transformations, on observe comment les matrices déplacent et transforment littéralement les données dans l'espace.

Tout était clair ?

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Section 4. Chapitre 6

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