Implémentation de la Décomposition Matricielle en Python
Les techniques de décomposition de matrices sont des outils essentiels en algèbre linéaire numérique, permettant la résolution de systèmes d'équations, l'analyse de stabilité et l'inversion de matrices.
Réalisation de la décomposition LU
La décomposition LU divise une matrice en :
L: matrice triangulaire inférieure ;U: matrice triangulaire supérieure ;P: matrice de permutation pour prendre en compte les échanges de lignes.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import lu # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[6, 3], [4, 3]]) # Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U P, L, U = lu(A) # Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')
Pourquoi c'est important : La décomposition LU est largement utilisée dans les méthodes numériques pour résoudre efficacement les systèmes linéaires et inverser les matrices.
Réalisation de la décomposition QR
La décomposition QR factorise une matrice en :
Q: Matrice orthogonale (préserve les angles et les longueurs) ;R: Matrice triangulaire supérieure.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import qr # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[4, 3], [6, 3]]) # Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular) Q, R = qr(A) # Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')
Pourquoi c'est important : La décomposition QR est couramment utilisée pour résoudre les problèmes des moindres carrés et offre une meilleure stabilité numérique que la décomposition LU dans certains cas.
1. Quel est le rôle de la matrice de permutation P dans la décomposition LU ?
2. Supposons que vous deviez résoudre le système A⋅x=b en utilisant la décomposition QR. Quelle modification du code serait nécessaire ?
Merci pour vos commentaires !
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Réalisation de la décomposition LU
La décomposition LU divise une matrice en :
L: matrice triangulaire inférieure ;U: matrice triangulaire supérieure ;P: matrice de permutation pour prendre en compte les échanges de lignes.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import lu # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[6, 3], [4, 3]]) # Perform LU decomposition: P, L, U such that P @ A = L @ U P, L, U = lu(A) # Verify that P @ A equals L @ U by reconstructing A from L and U print(f'L * U:\n{np.dot(L, U)}')
Pourquoi c'est important : La décomposition LU est largement utilisée dans les méthodes numériques pour résoudre efficacement les systèmes linéaires et inverser les matrices.
Réalisation de la décomposition QR
La décomposition QR factorise une matrice en :
Q: Matrice orthogonale (préserve les angles et les longueurs) ;R: Matrice triangulaire supérieure.
123456789101112import numpy as np from scipy.linalg import qr # Define a 2x2 matrix A A = np.array([[4, 3], [6, 3]]) # Perform QR decomposition: Q (orthogonal), R (upper triangular) Q, R = qr(A) # Verify that Q @ R equals A by reconstructing A from Q and R print(f'Q * R:\n{np.dot(Q, R)}')
Pourquoi c'est important : La décomposition QR est couramment utilisée pour résoudre les problèmes des moindres carrés et offre une meilleure stabilité numérique que la décomposition LU dans certains cas.
1. Quel est le rôle de la matrice de permutation P dans la décomposition LU ?
2. Supposons que vous deviez résoudre le système A⋅x=b en utilisant la décomposition QR. Quelle modification du code serait nécessaire ?
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