Apprendre Implémentation des Vecteurs en Python | Fondements de l'Algèbre Linéaire

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Définition des vecteurs en Python

En Python, l'utilisation des tableaux NumPy permet de définir des vecteurs 2D comme suit :


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

print(f'v1 = {v1}')
print(f'v2 = {v2}')

Ceux-ci représentent les vecteurs :

\vec{v}_1 = (2, 1), \quad \vec{v}_2 = (1, 3)

Ils peuvent maintenant être additionnés, soustraits ou utilisés dans des calculs de produit scalaire et de norme.

Addition de vecteurs

Pour effectuer l'addition de vecteurs :


              1234567
            
import numpy as np

v1 = np.array([2, 1])
v2 = np.array([1, 3])

v3 = v1 + v2
print(f'v3 = v1 + v2 = {v3}')

Cela effectue :

(2, 1) + (1, 3) = (3, 4)

Cela correspond à la règle d'addition des vecteurs :

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Magnitude du vecteur (Longueur)

Pour calculer la magnitude en Python :

np.linalg.norm(v)

Pour le vecteur [3, 4] :


              123
            
import numpy as np

print(np.linalg.norm([3, 4]))  # 5.0

Ceci utilise la formule :

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Produit scalaire

Pour calculer le produit scalaire :


              123
            
import numpy as np

print(np.dot([1, 2], [2, 3]))

Ce qui donne :

[1, 2] \cdot [2, 3] = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8

Règle générale du produit scalaire :

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

Visualisation des vecteurs avec Matplotlib

La fonction quiver() de Matplotlib permet de dessiner des flèches représentant les vecteurs et leur résultante. Chaque flèche indique la position, la direction et la norme d’un vecteur.

Bleu : $\vec{v}_1$ , tracé depuis l’origine ;
Vert : $\vec{v}_2$ , débutant à l’extrémité de $\vec{v}_1$ ;
Rouge : vecteur résultant, tracé de l’origine à la pointe finale.

Exemple :


              123456789101112131415161718
            
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()

# v1
ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# v2 (head-to-tail)
ax.quiver(2, 1, 1, 3, color='green', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# resultant
ax.quiver(0, 0, 3, 4, color='red', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.grid(True)
plt.title('Vector Addition (Head-to-Tail Method)')
plt.show()

Paramètres (basés sur le premier appel à quiver) :

ax.quiver(0, 0, 2, 1, color='blue', angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

0, 0 – point de départ du vecteur (origine) ;
2, 1 – composantes du vecteur selon les directions x et y ;
color='blue' – définit la couleur de la flèche en bleu ;
angles='xy' – trace la flèche en utilisant les coordonnées cartésiennes (plan x–y) ;
scale_units='xy' – met à l'échelle la flèche selon les mêmes unités que les axes ;
scale=1 – conserve la longueur réelle de la flèche (pas de mise à l'échelle automatique).

Ce graphique illustre l’addition de vecteurs tête-à-queue, où le vecteur rouge représente la somme $\vec{v}_1 + \vec{v}_2$ .

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