Apprendre Implémentation des Vecteurs Propres et des Valeurs Propres en Python

Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres


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import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Print eigenvalues and eigenvectors
print(f'Eigenvalues:\n{eigenvalues}')
print(f'Eigenvectors:\n{eigenvectors}')

eig() de la bibliothèque numpy calcule les solutions de l’équation :

A v = \lambda v

eigenvalues : liste de scalaires $\lambda$ qui multiplient les vecteurs propres ;
eigenvectors : colonnes représentant $v$ (directions invariantes par la transformation).

Validation de chaque paire (étape clé)


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import numpy as np
from numpy.linalg import eig

# Define matrix A (square matrix)
A = np.array([[2, 1],
              [1, 2]])

# Solve for eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = eig(A)

# Verify that A @ v = λ * v for each eigenpair
for i in range(len(eigenvalues)):
    print(f'Pair {i + 1}:')
    λ = eigenvalues[i]
    v = eigenvectors[:, i].reshape(-1, 1)
    print(f'A * v:\n{A @ v}')
    print(f'lambda * v:\n{λ * v}')

Cela vérifie si :

A v = \lambda v

Les deux côtés doivent être très proches, ce qui confirme la justesse. Cette méthode permet de valider numériquement les propriétés théoriques.

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Section 4. Chapitre 12

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