Summary  
This chapter shows how to define symbolic variables and compute partial derivatives of multivariable functions using SymPy in Python, then substitute numerical values and printing the results.

General domain of usage  
machine learning

Dans cette vidéo, vous apprendrez à calculer les **dérivées partielles** de fonctions à plusieurs variables en utilisant Python. Elles sont essentielles en **optimisation, apprentissage automatique et science des données** pour analyser comment une fonction varie par rapport à une variable, tout en maintenant les autres constantes.


Télécharger le code de la vidéo

## 1. Définition d'une fonction à plusieurs variables
```
x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2
```
- Ici, $$x$$ et $$y$$ sont définis comme des variables symboliques ;
- On définit ensuite la fonction $$f(x, y) = 4x^3y + 5y^2$$.


## 2. Calcul des dérivées partielles
```
df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)  
```
- `sp.diff(f, x)` calcule $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}$$ en considérant $$y$$ comme une constante ;
- `sp.diff(f, y)` calcule $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}$$ en considérant $$x$$ comme une constante.


## 3. Évaluation des dérivées partielles en (x=1, y=2)
```
df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})
```
- La fonction `.subs({x: 1, y: 2})` substitue $$x=1$$ et $$y=2$$ dans les dérivées calculées ;
- Permet l’**évaluation numérique** des dérivées en un point spécifique.


## 4. Affichage des résultats

Affichage de la **fonction originale**, de ses **dérivées partielles** et de leur **évaluation** en $$(1,2)$$.

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2

df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)

df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})

print("Function: f(x, y) =", f)
print("∂f/∂x =", df_dx)
print("∂f/∂y =", df_dy)
print("∂f/∂x at (1,2) =", df_dx_val)
print("∂f/∂y at (1,2) =", df_dy_val)

Que renverra `sp.diff(f, y)` pour la fonction donnée ?

Maîtrisez les bases mathématiques essentielles pour la science des données. Explorez les concepts fondamentaux des fonctions, du calcul différentiel et intégral, de l'algèbre linéaire, de la probabilité et de la réduction de dimensionnalité. Développez à la fois une compréhension théorique et une expérience pratique du codage afin de renforcer votre capacité à analyser des données, modéliser des systèmes complexes et appliquer des techniques avancées en apprentissage automatique.

Explorez les bases des fonctions mathématiques. Découvrez différents types de fonctions algébriques et transcendantes, leurs propriétés, ainsi que leur implémentation en Python pour résoudre des problèmes concrets.

Maîtrise des concepts d'ensembles et de séries, des opérations de base aux applications pratiques. Expérience pratique de la mise en œuvre des opérations sur les ensembles et du travail avec les séries arithmétiques et géométriques en Python.

Acquisition d'une compréhension approfondie des limites, dérivées, intégrales et dérivées partielles. Mise en relation de la théorie et de la pratique par l'implémentation de ces concepts en Python et leur application à l'optimisation via la descente de gradient.

Acquisition de connaissances solides sur les vecteurs, les matrices et les transformations. Étude des méthodes de décomposition et de l'analyse des valeurs propres, avec consolidation des concepts à travers des exercices de programmation Python et des applications pratiques en science des données.

Approfondissement de la théorie des probabilités et des statistiques. Étude de la probabilité conditionnelle, du théorème de Bayes et des mesures statistiques. Mise en œuvre des concepts clés en Python, simulation de distributions et consolidation des compétences par des exercices et des quiz.

Implémentation des dérivées partielles en Python

1. Définition d'une fonction à plusieurs variables

2. Calcul des dérivées partielles

3. Évaluation des dérivées partielles en (x=1, y=2)

4. Affichage des résultats