En Python, il est possible de calculer des dérivées de manière symbolique à l'aide de sympy et de les visualiser avec matplotlib.

1. Calcul des dérivées de manière symbolique

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Explication :

• Définition de x comme variable symbolique avec sp.symbols('x') ;
• La fonction sp.diff(f, x) calcule la dérivée de f par rapport à x ;
• Cette méthode permet de manipuler algébriquement les dérivées en Python.

2. Évaluation et tracé des fonctions et de leurs dérivées

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Explication :

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') convertit une fonction symbolique en une fonction numérique pouvant être évaluée avec numpy ;
• Ceci est nécessaire car matplotlib et numpy fonctionnent sur des tableaux numériques, et non sur des expressions symboliques.

3. Affichage des évaluations des dérivées pour des points clés

Pour vérifier nos calculs, nous affichons les valeurs des dérivées pour x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)