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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Introductions aux Dérivées Partielles | Analyse Mathématique
Mathématiques pour la Science des Données

bookIntroductions aux Dérivées Partielles

Note
Définition

Une dérivée partielle mesure comment une fonction à plusieurs variables évolue par rapport à une variable, en maintenant toutes les autres constantes. Elle exprime le taux de variation selon une seule dimension au sein d’un système multivarié.

Que sont les dérivées partielles ?

Une dérivée partielle s’écrit avec le symbole ∂\partial au lieu de dd utilisé pour les dérivées ordinaires. Si une fonction f(x,y)f(x,y) dépend à la fois de xx et de yy, on calcule :

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
Note
Remarque

Lorsqu’on dérive par rapport à une variable, toutes les autres variables sont considérées comme des constantes.

Calcul des dérivées partielles

Considérons la fonction :

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Déterminons, ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}} :

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Dérivation par rapport à xx, en considérant yy comme une constante.

Calculons, ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}} :

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Dérivation par rapport à yy, en considérant xx comme une constante.
question mark

Considérons la fonction :

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Calculer maintenant la dérivée partielle par rapport à yy.

Select the correct answer

Tout était clair ?

Comment pouvons-nous l'améliorer ?

Merci pour vos commentaires !

Section 3. Chapitre 7

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Can you show another example with three variables?

What are some real-world applications of partial derivatives?

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Une dérivée partielle mesure comment une fonction à plusieurs variables évolue par rapport à une variable, en maintenant toutes les autres constantes. Elle exprime le taux de variation selon une seule dimension au sein d’un système multivarié.

Que sont les dérivées partielles ?

Une dérivée partielle s’écrit avec le symbole ∂\partial au lieu de dd utilisé pour les dérivées ordinaires. Si une fonction f(x,y)f(x,y) dépend à la fois de xx et de yy, on calcule :

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
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Remarque

Lorsqu’on dérive par rapport à une variable, toutes les autres variables sont considérées comme des constantes.

Calcul des dérivées partielles

Considérons la fonction :

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Déterminons, ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}} :

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Dérivation par rapport à xx, en considérant yy comme une constante.

Calculons, ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}} :

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Dérivation par rapport à yy, en considérant xx comme une constante.
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Considérons la fonction :

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Calculer maintenant la dérivée partielle par rapport à yy.

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