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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Introductions aux Dérivées | Analyse Mathématique
Mathématiques pour la Science des Données

bookIntroductions aux Dérivées

Note
Définition

Une dérivée est une mesure de la variation d'une fonction en fonction de la variation de son entrée. Elle représente le taux de variation de la fonction et est fondamentale pour analyser les tendances, optimiser les processus et prédire les comportements dans des domaines tels que la physique, l'économie et l'apprentissage automatique.

Définition de la dérivée par la limite

La dérivée d'une fonction f(x)f(x) en un point spécifique x=ax = a est donnée par :

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Cette formule indique de combien f(x)f(x) varie lorsque l'on effectue un petit pas hh le long de l’axe des x. Plus hh devient petit, plus on se rapproche du taux de variation instantané.

Règles de base des dérivées

Règle de puissance

Si une fonction est une puissance de xx, la dérivée suit :

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Cela signifie que lors de la différentiation, on abaisse l’exposant et on le réduit d’une unité :

ddxx3=3x2\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Règle de la constante

La dérivée de toute constante est nulle :

ddxC=0\frac{d}{dx}C=0

Par exemple, si f(x)=5f(x) = 5, alors :

ddx5=0\frac{d}{dx}5=0

Règle de la somme et de la différence

La dérivée d'une somme ou d'une différence de fonctions suit :

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Par exemple, en dérivant séparément :

ddx(x3+2x)=3x2+2\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Règles du produit et du quotient

Règle du produit

Si deux fonctions sont multipliées, la dérivée s'obtient comme suit :

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Cela signifie que l'on dérive chaque fonction séparément puis on additionne leurs produits. Si f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=exg(x) = e^x, alors :

ddx[x2ex]=2xex+x3ex\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Règle du quotient

Lors de la division de fonctions, utiliser :

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Si f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=x+1g(x)=x+1, alors :

ddx[x2x+1]=2x(x+1)−x2(1)(x+1)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Règle de la chaîne : Dérivation des fonctions composées

Lors de la dérivation de fonctions imbriquées, utiliser :

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Par exemple, si y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5, alors :

ddx(3x+2)5=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Cette règle est essentielle dans les réseaux de neurones et les algorithmes d'apprentissage automatique.

Exemple de la règle de la chaîne pour les exponentielles :

Lorsqu'il s'agit de dériver une expression telle que :

y=e2x2y =e^{2x^2}

Il s'agit d'une fonction composée :

  • Fonction extérieure : eue^u
  • Fonction intérieure : u=2x2u = 2x^2

Appliquer la règle de la chaîne étape par étape :

ddx2x2=4x\frac{d}{dx}2x^2=4x

Puis multiplier par l'exponentielle d'origine :

ddx(e2x2)=4x⋅e2x2\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}
Note
Approfondir

En apprentissage automatique et dans les réseaux de neurones, cela apparaît lors de l'utilisation d'activations exponentielles ou de fonctions de perte exponentielles.

Exemple de règle de la chaîne logarithmique :

Différencions ln⁡(2x)\ln(2x). Il s'agit encore d'une fonction composée — logarithme à l'extérieur, linéaire à l'intérieur.

Différencier la partie intérieure :

ddx(2x)=2\frac{d}{dx}(2x)=2

Appliquer maintenant la règle de la chaîne au logarithme :

ddxln⁡(2x)=12x⋅2\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Ce qui se simplifie en :

ddxln⁡(2x)=22x=1x\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
Note
Remarque

Même si vous dérivez ln⁡(kx)\ln(kx), le résultat est toujours 1x\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} car les constantes se simplifient.

Cas particulier : Dérivée de la fonction sigmoïde

La fonction sigmoïde est couramment utilisée en apprentissage automatique :

σ(x)=11+x−x\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Sa dérivée joue un rôle clé dans l'optimisation :

σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Si f(x)=11+e−xf(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}, alors :

f′(x)=e−x(1+e−x)2f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Cette formule garantit que les gradients restent lisses pendant l'entraînement.

question mark

Laquelle des propositions suivantes représente correctement la dérivée de x4x^4 ?

Select the correct answer

Tout était clair ?

Comment pouvons-nous l'améliorer ?

Merci pour vos commentaires !

Section 3. Chapitre 3

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Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

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Note
Définition

Une dérivée est une mesure de la variation d'une fonction en fonction de la variation de son entrée. Elle représente le taux de variation de la fonction et est fondamentale pour analyser les tendances, optimiser les processus et prédire les comportements dans des domaines tels que la physique, l'économie et l'apprentissage automatique.

Définition de la dérivée par la limite

La dérivée d'une fonction f(x)f(x) en un point spécifique x=ax = a est donnée par :

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Cette formule indique de combien f(x)f(x) varie lorsque l'on effectue un petit pas hh le long de l’axe des x. Plus hh devient petit, plus on se rapproche du taux de variation instantané.

Règles de base des dérivées

Règle de puissance

Si une fonction est une puissance de xx, la dérivée suit :

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Cela signifie que lors de la différentiation, on abaisse l’exposant et on le réduit d’une unité :

ddxx3=3x2\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Règle de la constante

La dérivée de toute constante est nulle :

ddxC=0\frac{d}{dx}C=0

Par exemple, si f(x)=5f(x) = 5, alors :

ddx5=0\frac{d}{dx}5=0

Règle de la somme et de la différence

La dérivée d'une somme ou d'une différence de fonctions suit :

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Par exemple, en dérivant séparément :

ddx(x3+2x)=3x2+2\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Règles du produit et du quotient

Règle du produit

Si deux fonctions sont multipliées, la dérivée s'obtient comme suit :

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Cela signifie que l'on dérive chaque fonction séparément puis on additionne leurs produits. Si f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=exg(x) = e^x, alors :

ddx[x2ex]=2xex+x3ex\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Règle du quotient

Lors de la division de fonctions, utiliser :

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Si f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=x+1g(x)=x+1, alors :

ddx[x2x+1]=2x(x+1)−x2(1)(x+1)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Règle de la chaîne : Dérivation des fonctions composées

Lors de la dérivation de fonctions imbriquées, utiliser :

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Par exemple, si y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5, alors :

ddx(3x+2)5=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Cette règle est essentielle dans les réseaux de neurones et les algorithmes d'apprentissage automatique.

Exemple de la règle de la chaîne pour les exponentielles :

Lorsqu'il s'agit de dériver une expression telle que :

y=e2x2y =e^{2x^2}

Il s'agit d'une fonction composée :

  • Fonction extérieure : eue^u
  • Fonction intérieure : u=2x2u = 2x^2

Appliquer la règle de la chaîne étape par étape :

ddx2x2=4x\frac{d}{dx}2x^2=4x

Puis multiplier par l'exponentielle d'origine :

ddx(e2x2)=4x⋅e2x2\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}
Note
Approfondir

En apprentissage automatique et dans les réseaux de neurones, cela apparaît lors de l'utilisation d'activations exponentielles ou de fonctions de perte exponentielles.

Exemple de règle de la chaîne logarithmique :

Différencions ln⁡(2x)\ln(2x). Il s'agit encore d'une fonction composée — logarithme à l'extérieur, linéaire à l'intérieur.

Différencier la partie intérieure :

ddx(2x)=2\frac{d}{dx}(2x)=2

Appliquer maintenant la règle de la chaîne au logarithme :

ddxln⁡(2x)=12x⋅2\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Ce qui se simplifie en :

ddxln⁡(2x)=22x=1x\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
Note
Remarque

Même si vous dérivez ln⁡(kx)\ln(kx), le résultat est toujours 1x\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} car les constantes se simplifient.

Cas particulier : Dérivée de la fonction sigmoïde

La fonction sigmoïde est couramment utilisée en apprentissage automatique :

σ(x)=11+x−x\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Sa dérivée joue un rôle clé dans l'optimisation :

σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Si f(x)=11+e−xf(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}, alors :

f′(x)=e−x(1+e−x)2f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Cette formule garantit que les gradients restent lisses pendant l'entraînement.

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Laquelle des propositions suivantes représente correctement la dérivée de x4x^4 ?

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Comment pouvons-nous l'améliorer ?

Merci pour vos commentaires !

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