Apprendre Implémentation des Limites en Python

Avant d'explorer le comportement visuel des limites, il est nécessaire de savoir comment les calculer directement à l'aide de la bibliothèque sympy. Voici trois types courants de limites que vous rencontrerez.

1. Limite finie

Cet exemple présente une fonction qui tend vers une valeur finie spécifique lorsque $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Limite qui n'existe pas

Ici, la fonction présente un comportement différent à gauche et à droite, donc la limite n'existe pas.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Limite à l'infini

Cet exemple présente une fonction qui tend vers zéro lorsque (x) devient infiniment grand.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Ces courts extraits de code illustrent l'utilisation de sympy.limit() pour calculer différents types de limites : finies, indéfinies et infinies, avant de les analyser graphiquement

Définition des fonctions

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff : fonction linéaire simple où les limites à gauche et à droite divergent ;
f_same : fonction réciproque classique, tendant vers la même limite des deux côtés ;
f_special : limite bien connue en analyse, qui vaut 1 lorsque $x \to 0$ .

Gestion de la division par zéro

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

La fonction f_same = 1/x présente un problème en $x = 0$ (division par zéro), donc cette valeur est remplacée par NaN (Not a Number) pour éviter les erreurs ;
Pour f_special, on sait que $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , donc on attribue manuellement $1$ lorsque $x = 0$ .

Tracer les asymptotes horizontales

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

La fonction 1/x possède une asymptote horizontale en $y = 0$ ;
La fonction sin(x)/x tend vers $y = 1$ , donc une ligne rouge en pointillés est ajoutée pour une meilleure visibilité.

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 3. Chapitre 2

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Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

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