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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Introduction Aux Ensembles | Ensembles et Séries
Mathématiques pour la Science des Données

bookIntroduction Aux Ensembles

Note
Définition

Un ensemble est une collection d’éléments distincts utilisée pour organiser, regrouper et analyser des données. Les ensembles constituent un concept fondamental en mathématiques et en science des données, permettant des opérations telles que l’union, l’intersection et la différence afin de structurer et comparer les données de manière efficace.

Aperçu des ensembles

Un ensemble est une collection d’objets distincts, appelés éléments, regroupés ensemble. Les ensembles sont notés à l’aide d’accolades, par exemple :

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}

Notation clé :

  • Si xx est un élément de l’ensemble AA, on écrit x∈Ax \in A.
  • Si xx n’est pas dans AA, on écrit x∉Ax \notin A.

Types d’ensembles

  • Ensembles finis : ensembles avec un nombre limité d’éléments ;
A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\}
  • Ensembles infinis : ensembles avec un nombre infini d’éléments ;
N={1,2,3,...}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}
  • Ensembles vides : ensembles sans éléments, notés ∅\emptyset ;
A=∅A = \emptyset
  • Sous-ensembles : un ensemble AA est un sous-ensemble de BB si tous les éléments de AA appartiennent à BB ;
A={1,2}, B={1,2,3}, A⊆BA = \{1, 2\},\ B = \{1, 2, 3\},\ A \subseteq B
  • Ensembles universels : l’ensemble contenant tous les éléments possibles dans un contexte particulier, noté UU ;
U={All integers}U = \{\text{All integers}\}
  • Ensembles des parties : l’ensemble de tous les sous-ensembles d’un ensemble.
P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}

Opérations sur les ensembles

Les ensembles permettent plusieurs opérations pour comparer et manipuler des données. Quelques opérations clés incluent (pour A={1,2}, B={2,3}A = \{1,2\},\ B = \{2,3\}) :

  • Union : combine les éléments des ensembles AA et BB ;
A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1,2,3\}
  • Intersection : identifie les éléments communs entre les ensembles AA et BB ;
A∩B={2}A \cap B = \{2\}
  • Différence : éléments présents dans AA mais pas dans BB ;
A−B={1} A - B = \{1\}
  • Complémentaire : éléments qui ne sont pas dans AA mais qui appartiennent à l'ensemble universel UU ;
A′=U−A A' = U - A
  • Produit cartésien : ensemble de tous les couples ordonnés entre les ensembles AA et BB.
A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}A \times B = \{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)\}

Applications réelles

Les ensembles sont essentiels pour résoudre des problèmes en science des données et en analytique :

  • Organisation des données : regroupement d'éléments uniques (par exemple, identifiants clients distincts) ;
  • Nettoyage des données : suppression des doublons à l'aide des propriétés des ensembles ;
  • Opérations sur les ensembles : identification des intersections (caractéristiques communes) ou des différences (caractéristiques uniques) dans les jeux de données ;
  • Probabilité : calcul de l'union ou de l'intersection d'événements ;
  • Requêtes de bases de données : utilisation des ensembles pour effectuer des opérations telles que les jointures, unions et différences.
question mark

Si A={1,2,3}A = \{1,2,3\} et B={2,3,4}B = \{2,3,4\}, quel est A∩BA \cap B ?

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Section 2. Chapitre 1

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Un ensemble est une collection d’éléments distincts utilisée pour organiser, regrouper et analyser des données. Les ensembles constituent un concept fondamental en mathématiques et en science des données, permettant des opérations telles que l’union, l’intersection et la différence afin de structurer et comparer les données de manière efficace.

Aperçu des ensembles

Un ensemble est une collection d’objets distincts, appelés éléments, regroupés ensemble. Les ensembles sont notés à l’aide d’accolades, par exemple :

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}

Notation clé :

  • Si xx est un élément de l’ensemble AA, on écrit x∈Ax \in A.
  • Si xx n’est pas dans AA, on écrit x∉Ax \notin A.

Types d’ensembles

  • Ensembles finis : ensembles avec un nombre limité d’éléments ;
A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\}
  • Ensembles infinis : ensembles avec un nombre infini d’éléments ;
N={1,2,3,...}\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}
  • Ensembles vides : ensembles sans éléments, notés ∅\emptyset ;
A=∅A = \emptyset
  • Sous-ensembles : un ensemble AA est un sous-ensemble de BB si tous les éléments de AA appartiennent à BB ;
A={1,2}, B={1,2,3}, A⊆BA = \{1, 2\},\ B = \{1, 2, 3\},\ A \subseteq B
  • Ensembles universels : l’ensemble contenant tous les éléments possibles dans un contexte particulier, noté UU ;
U={All integers}U = \{\text{All integers}\}
  • Ensembles des parties : l’ensemble de tous les sous-ensembles d’un ensemble.
P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}

Opérations sur les ensembles

Les ensembles permettent plusieurs opérations pour comparer et manipuler des données. Quelques opérations clés incluent (pour A={1,2}, B={2,3}A = \{1,2\},\ B = \{2,3\}) :

  • Union : combine les éléments des ensembles AA et BB ;
A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1,2,3\}
  • Intersection : identifie les éléments communs entre les ensembles AA et BB ;
A∩B={2}A \cap B = \{2\}
  • Différence : éléments présents dans AA mais pas dans BB ;
A−B={1} A - B = \{1\}
  • Complémentaire : éléments qui ne sont pas dans AA mais qui appartiennent à l'ensemble universel UU ;
A′=U−A A' = U - A
  • Produit cartésien : ensemble de tous les couples ordonnés entre les ensembles AA et BB.
A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}A \times B = \{(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)\}

Applications réelles

Les ensembles sont essentiels pour résoudre des problèmes en science des données et en analytique :

  • Organisation des données : regroupement d'éléments uniques (par exemple, identifiants clients distincts) ;
  • Nettoyage des données : suppression des doublons à l'aide des propriétés des ensembles ;
  • Opérations sur les ensembles : identification des intersections (caractéristiques communes) ou des différences (caractéristiques uniques) dans les jeux de données ;
  • Probabilité : calcul de l'union ou de l'intersection d'événements ;
  • Requêtes de bases de données : utilisation des ensembles pour effectuer des opérations telles que les jointures, unions et différences.
question mark

Si A={1,2,3}A = \{1,2,3\} et B={2,3,4}B = \{2,3,4\}, quel est A∩BA \cap B ?

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