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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Apprendre Introduction Aux Séries | Ensembles et Séries
Mathématiques pour la Science des Données

bookIntroduction Aux Séries

Note
Définition

Une série est une expression mathématique formée en additionnant les termes d'une suite. Les types les plus courants sont la série arithmétique et la série géométrique, qui diffèrent par la manière dont leurs termes progressent.

Série arithmétique

Une série arithmétique est formée lorsque la différence entre les termes consécutifs d'une suite est constante.

2,5,8,11,14,...;(diffeˊrence commune,d=3)2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{différence commune}, d = 3)

La somme des nn premiers termes d'une série arithmétique est donnée par :

Sn=n2⋅(a+l)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Où :

  • nn - nombre de termes ;
  • aa - premier terme ;
  • ll - dernier terme.

Sinon, si le dernier terme ll n'est pas connu :

Sn=n2⋅2a+(n−1)⋅dS_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Exemple

Trouver la somme des 10 premiers termes de la série 2,5,8,...2,5,8,...

S10=102⋅(2+(10−1)⋅3)=5⋅(2+27)=145S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Suites géométriques

Une suite géométrique est formée lorsque chaque terme de la séquence est multiplié par un rapport fixe pour obtenir le terme suivant.

3,6,12,24,48,...;(rapport commun,r=2)3,6,12,24,48,...;(\text{rapport commun}, r=2)

La somme des nn premiers termes d'une suite géométrique est donnée par :

Sn=a⋅1−rn1−r, r≠1S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Où :

  • aa - premier terme ;
  • rr - rapport commun ;
  • nn - nombre de termes.

Si la suite est infinie et ∣r∣<1|r|<1 :

S=a1−rS = \frac{a}{1 - r}

Exemple :

Déterminer la somme des 4 premiers termes de la suite 3,6,12,24,...3,6,12,24,...

S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Applications réelles

Les suites arithmétiques et géométriques apparaissent dans de nombreux contextes en science des données :

  • Croissance de population et modélisation des ressources à l'aide de progressions géométriques ;
  • Analyse financière utilisant les calculs d'intérêts composés ;
  • Prévision des revenus sur différentes périodes ;
  • Apprentissage automatique, où des sommes interviennent dans des algorithmes comme la descente de gradient.
question mark

a=1a=1, r=0.5r=0.5 et n=∞n=\infty, quelle est la somme de la série géométrique infinie ?

Select the correct answer

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Comment pouvons-nous l'améliorer ?

Merci pour vos commentaires !

Section 2. Chapitre 4

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How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

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Définition

Une série est une expression mathématique formée en additionnant les termes d'une suite. Les types les plus courants sont la série arithmétique et la série géométrique, qui diffèrent par la manière dont leurs termes progressent.

Série arithmétique

Une série arithmétique est formée lorsque la différence entre les termes consécutifs d'une suite est constante.

2,5,8,11,14,...;(diffeˊrence commune,d=3)2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{différence commune}, d = 3)

La somme des nn premiers termes d'une série arithmétique est donnée par :

Sn=n2⋅(a+l)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Où :

  • nn - nombre de termes ;
  • aa - premier terme ;
  • ll - dernier terme.

Sinon, si le dernier terme ll n'est pas connu :

Sn=n2⋅2a+(n−1)⋅dS_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Exemple

Trouver la somme des 10 premiers termes de la série 2,5,8,...2,5,8,...

S10=102⋅(2+(10−1)⋅3)=5⋅(2+27)=145S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Suites géométriques

Une suite géométrique est formée lorsque chaque terme de la séquence est multiplié par un rapport fixe pour obtenir le terme suivant.

3,6,12,24,48,...;(rapport commun,r=2)3,6,12,24,48,...;(\text{rapport commun}, r=2)

La somme des nn premiers termes d'une suite géométrique est donnée par :

Sn=a⋅1−rn1−r, r≠1S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Où :

  • aa - premier terme ;
  • rr - rapport commun ;
  • nn - nombre de termes.

Si la suite est infinie et ∣r∣<1|r|<1 :

S=a1−rS = \frac{a}{1 - r}

Exemple :

Déterminer la somme des 4 premiers termes de la suite 3,6,12,24,...3,6,12,24,...

S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Applications réelles

Les suites arithmétiques et géométriques apparaissent dans de nombreux contextes en science des données :

  • Croissance de population et modélisation des ressources à l'aide de progressions géométriques ;
  • Analyse financière utilisant les calculs d'intérêts composés ;
  • Prévision des revenus sur différentes périodes ;
  • Apprentissage automatique, où des sommes interviennent dans des algorithmes comme la descente de gradient.
question mark

a=1a=1, r=0.5r=0.5 et n=∞n=\infty, quelle est la somme de la série géométrique infinie ?

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