Opérations d'algèbre linéaire

TensorFlow propose un ensemble de fonctions dédiées aux opérations d'algèbre linéaire, facilitant ainsi les opérations matricielles.

Multiplication de matrices

Rappel rapide sur le fonctionnement de la multiplication de matrices.

Il existe deux approches équivalentes pour la multiplication de matrices :

La fonction tf.matmul() ;
L'utilisation de l'opérateur @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Remarque

La multiplication de matrices de taille 3x2 et 2x4 donne une matrice de 3x4.

Inversion de matrice

L'inverse d'une matrice peut être obtenue à l'aide de la fonction tf.linalg.inv(). Vérification d'une propriété fondamentale de la matrice inverse.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Remarque

La multiplication d'une matrice par son inverse doit donner une matrice identité, qui possède des uns sur sa diagonale principale et des zéros ailleurs. De plus, le module tf.linalg propose un large éventail de fonctions d’algèbre linéaire. Pour plus de détails ou des opérations plus avancées, il est conseillé de consulter sa documentation officielle.

Transposée

Il est possible d’obtenir une matrice transposée à l’aide de la fonction tf.transpose().


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Produit scalaire

Le produit scalaire peut être obtenu à l'aide de la fonction tf.tensordot(). En configurant l'argument axes, il est possible de choisir selon quels axes calculer le produit scalaire. Par exemple, pour deux vecteurs, en définissant axes=1, on obtient le produit scalaire classique entre vecteurs. Mais en définissant axes=0, on obtient une matrice diffusée le long de l'axe 0 :


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Remarque

Si vous prenez deux matrices avec des dimensions appropriées (NxM @ MxK, où NxM représente les dimensions de la première matrice et MxK celles de la seconde), et que vous calculez le produit scalaire selon axes=1, cela réalise essentiellement une multiplication matricielle.

Tâche

Swipe to start coding

Contexte

Un système d'équations linéaires peut être représenté sous forme matricielle à l'aide de l'équation :

AX = B

Où :

A est une matrice de coefficients ;
X est une matrice colonne des variables ;
B est une matrice colonne représentant les valeurs du côté droit des équations.

La solution de ce système peut être trouvée à l'aide de la formule :

X = A^-1 B

Où A^-1 est l'inverse de la matrice A.

Objectif

Étant donné un système d'équations linéaires, utiliser TensorFlow pour le résoudre. Le système d'équations linéaires suivant vous est donné :

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Représenter le système d'équations sous forme matricielle (séparer en matrices A et B).
À l'aide de TensorFlow, trouver l'inverse de la matrice A.
Multiplier l'inverse de la matrice A par la matrice B pour obtenir la matrice solution X, qui contient les valeurs de x, y et z.

Remarque

Le découpage (slicing) dans TensorFlow fonctionne de manière similaire à NumPy. Ainsi, X[:, 0] permet de récupérer tous les éléments de la colonne à l'indice 0. Nous aborderons le découpage plus tard dans le cours.

Solution

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

Section 2. Chapitre 2

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TensorFlow propose un ensemble de fonctions dédiées aux opérations d'algèbre linéaire, facilitant ainsi les opérations matricielles.

Multiplication de matrices

Rappel rapide sur le fonctionnement de la multiplication de matrices.

Il existe deux approches équivalentes pour la multiplication de matrices :

La fonction tf.matmul() ;
L'utilisation de l'opérateur @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Remarque

La multiplication de matrices de taille 3x2 et 2x4 donne une matrice de 3x4.

Inversion de matrice

L'inverse d'une matrice peut être obtenue à l'aide de la fonction tf.linalg.inv(). Vérification d'une propriété fondamentale de la matrice inverse.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Remarque

Transposée

Il est possible d’obtenir une matrice transposée à l’aide de la fonction tf.transpose().


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Produit scalaire


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Remarque

Tâche

Swipe to start coding

Contexte

Un système d'équations linéaires peut être représenté sous forme matricielle à l'aide de l'équation :

AX = B

Où :

A est une matrice de coefficients ;
X est une matrice colonne des variables ;
B est une matrice colonne représentant les valeurs du côté droit des équations.

La solution de ce système peut être trouvée à l'aide de la formule :

X = A^-1 B

Où A^-1 est l'inverse de la matrice A.

Objectif

Étant donné un système d'équations linéaires, utiliser TensorFlow pour le résoudre. Le système d'équations linéaires suivant vous est donné :

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Représenter le système d'équations sous forme matricielle (séparer en matrices A et B).
À l'aide de TensorFlow, trouver l'inverse de la matrice A.
Multiplier l'inverse de la matrice A par la matrice B pour obtenir la matrice solution X, qui contient les valeurs de x, y et z.

Remarque

Le découpage (slicing) dans TensorFlow fonctionne de manière similaire à NumPy. Ainsi, X[:, 0] permet de récupérer tous les éléments de la colonne à l'indice 0. Nous aborderons le découpage plus tard dans le cours.

Solution

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Multiplication de matrices

Inversion de matrice

Transposée

Produit scalaire

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