Théorème de Bayes

Théorème de Bayes est un concept fondamental en théorie des probabilités qui nous permet de mettre à jour nos croyances ou probabilités en fonction de nouvelles preuves. Nous avons déjà examiné la loi des probabilités totales, et le théorème de Bayes lui ressemble beaucoup. Voyons la formulation :

Fournissons des explications :

1. Nous devons diviser notre espace des événements élémentaires en n différents événements incompatibles ;
2. Nous savons que l'événement A résulte de l'expérience stochastique. Cela signifie que A s'est déjà produit ;
3. Nous voulons comprendre avec quel segment H nous avons expérimenté en calculant la probabilité conditionnelle correspondante.

Exemple

Supposons qu'un test médical pour le diabète ait une précision de 90% pour détecter une maladie spécifique.
La maladie est rare et ne touche que 1% de la population. Si une personne teste positive pour la maladie, quelle est la probabilité que cette personne soit effectivement malade?

Solution

Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de tenir compte du fait que le test peut donner des faux positifs et des faux négatifs. C'est pourquoi nous devons utiliser le théorème de Bayes.

H₁ : La probabilité qu'un individu sélectionné au hasard ait le diabète est de 0.01.
H₂ : La probabilité qu'un individu sélectionné au hasard n'ait pas le diabète est de 0.99.
A : le résultat du test est positif (le diabète est détecté par le test).
P(A|H₁) : la probabilité que le test détecte le diabète et que la personne soit malade est de 0.9 (résultat vrai positif).
P(not A|H₂) : la probabilité que le test ne détecte pas le diabète et que la personne ne soit pas malade est de 0.9 (résultat vrai négatif).
P(A|H₂) : la probabilité que le test détecte le diabète et que la personne ne soit pas malade est égale à 1 - P(not A|H₂) = 0.1 (résultat faux positif).

Nous devons trouver P(H₁|A) - la probabilité qu'une personne soit réellement malade si le test détecte le diabète