Couches de Perceptrons

Le perceptron est le réseau de neurones le plus simple—il ne comporte qu’un seul neurone. Pour des tâches plus complexes, on utilise un perceptron multicouche (MLP), qui contient une ou plusieurs couches cachées permettant au réseau d’apprendre des schémas plus riches.

Un MLP se compose de :

1. Couche d’entrée — reçoit les données ;
2. Couches cachées — extraient les schémas ;
3. Couche de sortie — produit les prédictions.

Chaque couche comporte plusieurs neurones ; la sortie d’une couche devient l’entrée de la suivante.

Poids et biais des couches

Précédemment, un neurone stockait ses poids sous forme de vecteur et son biais sous forme de scalaire. Une couche, cependant, contient plusieurs neurones, donc ses poids deviennent une matrice, où chaque ligne stocke les poids d’un neurone. Les biais de tous les neurones forment un vecteur.

Pour une couche avec 3 entrées et 2 neurones :

Ici, $W_{ij}$ est le poids de la $j$-ième entrée vers le $i$-ième neurone ; $b_i$ est le biais du neurone $i$.

Propagation avant

La propagation avant active chaque neurone en calculant une somme pondérée, en ajoutant le biais, puis en appliquant la fonction d’activation.

Auparavant, un seul neurone utilisait :

[ z = W \cdot x + b ]

Désormais, puisque chaque ligne de (W) est le vecteur de poids d’un neurone, effectuer une multiplication matricielle entre la matrice de poids et le vecteur d’entrée permet de calculer automatiquement toutes les sommes pondérées des neurones en une seule opération.

Pour ajouter les biais aux sorties des neurones respectifs, il convient également d'ajouter un vecteur de biais :

Enfin, la fonction d'activation est appliquée au résultat — sigmoïde ou ReLU, dans notre cas. La formule résultante pour la propagation avant dans la couche est la suivante :

où $a$ est le vecteur des activations (sorties) des neurones.

Classe Layer

Puisque les MLP sont constitués de couches, nous définissons une classe dédiée Layer. Ses attributs :

• inputs : vecteur d'entrée (éléments n_inputs) ;
• outputs : sorties brutes des neurones (éléments n_neurons) ;
• weights : matrice de poids ;
• biases : vecteur de biais ;
• activation_function : fonction d'activation utilisée dans la couche.

Les poids et les biais sont initialisés avec des valeurs aléatoires issues d'une distribution uniforme dans ([-1, 1]). inputs et outputs sont initialisés comme des tableaux NumPy remplis de zéros afin de garantir des formes cohérentes pour la rétropropagation ultérieure.

class Layer:
    def __init__(self, n_inputs, n_neurons, activation_function):
        self.inputs = np.zeros((n_inputs, 1))
        self.outputs = np.zeros((n_neurons, 1))
        self.weights = ...
        self.biases = ...
        self.activation = activation_function

Méthode Forward

La propagation avant pour une couche calcule les sorties brutes et applique l'activation :

def forward(self, inputs):
    self.inputs = np.array(inputs).reshape(-1, 1)
    # Raw outputs: weighted sum + bias
    self.outputs = ...
    # Apply activation
    return ...

Le remodelage de l'entrée en vecteur colonne garantit une multiplication correcte avec la matrice de poids et assure la correspondance des dimensions attendues dans tout le réseau.