Défi : Intervalle de Confiance pour le Paramètre de Distribution Exponentielle

Dans le chapitre précédent, nous avons examiné comment construire des intervalles de confiance pour les paramètres d'une distribution gaussienne. Maintenant, comprenons comment nous pouvons utiliser cela pour construire des intervalles de confiance pour les paramètres d'autres distributions.
Par exemple, utilisons la distribution exponentielle. Plus tôt dans ce cours, la distribution exponentielle a déjà été utilisée dans des exemples. Maintenant, examinons cette distribution plus en détail et considérons sa PDF et ses caractéristiques :

Nous devons construire un intervalle de confiance pour le paramètre lambda afin de résoudre ce problème. Considérons d'abord non pas le paramètre lambda lui-même mais le paramètre inversé 1/lambda. Selon la méthode des moments, nous pouvons estimer ce paramètre en utilisant la moyenne de l'échantillon, comme nous l'avons montré précédemment, une telle estimation sera à la fois non biaisée et cohérente.

Remarque

Cette estimation sera également efficace. Vous pouvez le vérifier vous-même en vous basant sur les informations du chapitre précédent.

Intervalle de confiance pour le paramètre de distribution exponentielle

Tout d'abord, trouvons la valeur attendue et la variance de notre estimation :

Analysons maintenant la fonction suivante :

Puisque nous avons la somme de variables aléatoires i.i.d. avec une espérance mathématique et une variance finies, nous pouvons appliquer le théorème central limite à notre estimation. Ensuite, nous construisons la fonction de sorte que sa distribution ne dépende pas des paramètres estimés. Enfin, nous n'avons qu'à spécifier l'intervalle de confiance analytique.

Remarque

Les estimations pour lesquelles le Théorème Central Limite s'applique sont appelées asymptotiquement normales. Nous pouvons construire des intervalles de confiance en utilisant les intervalles de confiance de la distribution gaussienne pour de telles estimations.

Tâche

Swipe to start coding

Ainsi, nous avons dérivé analytiquement une formule par laquelle nous pouvons calculer l'intervalle de confiance pour le paramètre de distribution exponentielle, il reste à l'implémenter dans le code. Vous devez :

Importer le module stats de la bibliothèque scipy pour fournir les calculs nécessaires.
Utiliser la méthode .ppf() pour calculer z_value.
Utiliser la méthode .mean() pour obtenir l'estimation du paramètre 1 / lambda.

Solution

import numpy as np

from scipy import stats

import pandas as pd

samples = pd.read_csv('https://codefinity-content-media.s3.eu-west-1.amazonaws.com/Advanced+Probability+course+media/expon_samples.csv')

data = np.array(samples)

# Set the confidence level and calculate the degrees of freedom

conf_level = 0.95

n = len(data)

# Calculate the z-value for the given confidence

z_value = stats.norm.ppf((1 + conf_level) / 2)

# Calculate the sample mean and adjusted sample variance

inversed_param_estim = np.mean(data)

param_estim = 1 / inversed_param_estim

# Calculate the lower and upper bounds of the confidence interval

lower_bound = param_estim * (1 - z_value / np.sqrt(n))

upper_bound = param_estim * (1 + z_value / np.sqrt(n))

print(f'{conf_level:.0%} сonfidence interval for lambda parameter is : ({lower_bound:.2f}, {upper_bound:.2f})')

Tout était clair ?

Merci pour vos commentaires !

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