Autovalori e Autovettori
Un autovettore di una matrice è un vettore non nullo la cui direzione rimane invariata quando viene applicata una trasformazione lineare (rappresentata dalla matrice); solo la sua lunghezza viene scalata. L'entità della scalatura è data dal corrispondente autovalore.
Per la matrice di covarianza Σ, gli autovettori indicano le direzioni di massima varianza e gli autovalori indicano quanta varianza è presente in tali direzioni.
Matematicamente, per la matrice A, autovettore v e autovalore λ:
Av=λvNella PCA, gli autovettori della matrice di covarianza sono i assi principali e gli autovalori sono le varianze lungo tali assi.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
L'autovettore con il maggiore autovalore indica la direzione di massima varianza nei dati. Questo rappresenta la prima componente principale.
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Per la matrice di covarianza Σ, gli autovettori indicano le direzioni di massima varianza e gli autovalori indicano quanta varianza è presente in tali direzioni.
Matematicamente, per la matrice A, autovettore v e autovalore λ:
Av=λvNella PCA, gli autovettori della matrice di covarianza sono i assi principali e gli autovalori sono le varianze lungo tali assi.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
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