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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Varianza, Covarianza e Matrice di Covarianza | Fondamenti Matematici della PCA
Riduzione della Dimensionalità con PCA

bookVarianza, Covarianza e Matrice di Covarianza

Note
Definizione

Varianza misura quanto una variabile si discosta dalla sua media.

La formula per la varianza di una variabile xx è:

Var(x)=1n∑i=1n(xi−xˉ)2\mathrm{Var}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
Note
Definizione

Covarianza misura come due variabili variano insieme.

La formula per la covarianza delle variabili xx e yy è:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

La matrice di covarianza generalizza la covarianza a più variabili. Per un dataset XX con dd caratteristiche e nn campioni, la matrice di covarianza Σ\Sigma è una matrice d×dd \times d in cui ogni elemento Σij\Sigma_{ij} rappresenta la covarianza tra la caratteristica ii e la caratteristica jj, calcolata con il denominatore n−1n-1 per ottenere uno stimatore non distorto.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
copy

Nel codice sopra, i dati vengono centrati manualmente e la matrice di covarianza viene calcolata tramite moltiplicazione matriciale. Questa matrice descrive come ogni coppia di caratteristiche varia insieme.

question mark

Quale affermazione descrive accuratamente la relazione tra varianza, covarianza e matrice di covarianza

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Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 2. Capitolo 1

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Can you explain why we center the data before computing the covariance matrix?

What is the difference between dividing by n and n-1 in the covariance calculation?

How do I interpret the values in the covariance matrix?

Awesome!

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La formula per la varianza di una variabile xx è:

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Covarianza misura come due variabili variano insieme.

La formula per la covarianza delle variabili xx e yy è:

Cov(x,y)=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

La matrice di covarianza generalizza la covarianza a più variabili. Per un dataset XX con dd caratteristiche e nn campioni, la matrice di covarianza Σ\Sigma è una matrice d×dd \times d in cui ogni elemento Σij\Sigma_{ij} rappresenta la covarianza tra la caratteristica ii e la caratteristica jj, calcolata con il denominatore n−1n-1 per ottenere uno stimatore non distorto.


              
12345678910111213

            
import numpy as np

# Example data: 3 samples, 2 features
X = np.array([[2.5, 2.4],
              [0.5, 0.7],
              [2.2, 2.9]])

# Center the data (subtract mean)
X_centered = X - np.mean(X, axis=0)

# Compute covariance matrix manually
cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0]
print("Covariance matrix:\n", cov_matrix)
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Nel codice sopra, i dati vengono centrati manualmente e la matrice di covarianza viene calcolata tramite moltiplicazione matriciale. Questa matrice descrive come ogni coppia di caratteristiche varia insieme.

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