Riduzione delle Dimensioni Massimizzando la Varianza
PCA classifica le componenti principali in base alla varianza che catturano, misurata tramite i loro autovalori. Mantenere le prime k componenti preserva la maggior parte della varianza, poiché ogni componente cattura meno della precedente ed è ortogonale alle componenti precedenti. Questo riduce le dimensioni mantenendo le direzioni più informative nei dati.
Il rapporto di varianza spiegata per ciascuna componente principale è:
Explained Variance Ratio=∑jλjλidove λi è il i-esimo autovalore più grande. Questo rapporto indica quanta parte della varianza totale nei dati viene catturata da ciascuna componente principale. La somma di tutti i rapporti di varianza spiegata è sempre 1, poiché tutti gli autovalori insieme rappresentano la varianza totale del dataset.
123456789101112import numpy as np # Using eigenvalues from previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) explained_variance_ratio = values / np.sum(values) print("Explained variance ratio:", explained_variance_ratio)
Selezionare le principali componenti in modo che la somma dei loro rapporti di varianza spiegata raggiunga una soglia specifica - come il 95% - consente di ridurre il numero di dimensioni mantenendo la maggior parte delle informazioni dei dati. Questo significa conservare solo le direzioni nei dati in cui la dispersione è maggiore, che sono le più informative per l'analisi o la modellizzazione. Concentrandosi su queste componenti, si semplifica il dataset senza perdere i pattern più rilevanti. Questo equilibrio tra dimensionalità e informazione è un vantaggio fondamentale della PCA.
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Can you explain how to choose the optimal number of principal components?
What happens if I keep too few or too many principal components?
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Awesome!
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PCA classifica le componenti principali in base alla varianza che catturano, misurata tramite i loro autovalori. Mantenere le prime k componenti preserva la maggior parte della varianza, poiché ogni componente cattura meno della precedente ed è ortogonale alle componenti precedenti. Questo riduce le dimensioni mantenendo le direzioni più informative nei dati.
Il rapporto di varianza spiegata per ciascuna componente principale è:
Explained Variance Ratio=∑jλjλidove λi è il i-esimo autovalore più grande. Questo rapporto indica quanta parte della varianza totale nei dati viene catturata da ciascuna componente principale. La somma di tutti i rapporti di varianza spiegata è sempre 1, poiché tutti gli autovalori insieme rappresentano la varianza totale del dataset.
123456789101112import numpy as np # Using eigenvalues from previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) explained_variance_ratio = values / np.sum(values) print("Explained variance ratio:", explained_variance_ratio)
Selezionare le principali componenti in modo che la somma dei loro rapporti di varianza spiegata raggiunga una soglia specifica - come il 95% - consente di ridurre il numero di dimensioni mantenendo la maggior parte delle informazioni dei dati. Questo significa conservare solo le direzioni nei dati in cui la dispersione è maggiore, che sono le più informative per l'analisi o la modellizzazione. Concentrandosi su queste componenti, si semplifica il dataset senza perdere i pattern più rilevanti. Questo equilibrio tra dimensionalità e informazione è un vantaggio fondamentale della PCA.
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