Intuizione della PCA
L'analisi delle componenti principali (PCA) è una tecnica potente che identifica nuovi assi - chiamati componenti principali - che rappresentano le direzioni nei dati che catturano la maggiore varianza.
La PCA mantiene le direzioni in cui i dati variano maggiormente, poiché queste catturano i principali schemi e la struttura.
Si può pensare alla PCA come a una torcia che illumina un oggetto 3D e ne osserva l'ombra su una parete. L'angolo della luce modifica i dettagli dell'ombra. La PCA trova il miglior angolo affinché l'ombra, o projection, riveli il più possibile la forma dell'oggetto. Allo stesso modo, la PCA proietta i dati su nuovi assi per preservare quanta più variazione possibile.
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Generate a simple 2D dataset np.random.seed(0) mean = [0, 0] cov = [[3, 2], [2, 2]] # Covariance matrix X = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 200) # Compute the mean of the data mean_vector = np.mean(X, axis=0) # Compute the covariance matrix and its eigenvectors cov_matrix = np.cov(X.T) eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix) # First principal component (direction of maximum variance) pc1 = eigenvectors[:, np.argmax(eigenvalues)] # Plot the data plt.figure(figsize=(8,6)) plt.scatter(X[:,0], X[:,1], alpha=0.3, label="Data points") plt.quiver( mean_vector[0], mean_vector[1], pc1[0], pc1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1.5, color='red', width=0.01, label="First principal component" ) plt.xlabel("Feature 1") plt.ylabel("Feature 2") plt.title("Direction of Maximum Variance (First Principal Component)") plt.legend() plt.axis("equal") plt.show()
Identificando le direzioni in cui i dati variano maggiormente, PCA consente di ridurre le dimensioni preservando le informazioni più importanti. Concentrarsi su queste direzioni di massima varianza garantisce che la struttura e i pattern del dataset rimangano chiari. Questa comprensione prepara ad approfondire le basi matematiche della PCA nelle prossime sezioni.
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La PCA mantiene le direzioni in cui i dati variano maggiormente, poiché queste catturano i principali schemi e la struttura.
Si può pensare alla PCA come a una torcia che illumina un oggetto 3D e ne osserva l'ombra su una parete. L'angolo della luce modifica i dettagli dell'ombra. La PCA trova il miglior angolo affinché l'ombra, o projection, riveli il più possibile la forma dell'oggetto. Allo stesso modo, la PCA proietta i dati su nuovi assi per preservare quanta più variazione possibile.
12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Generate a simple 2D dataset np.random.seed(0) mean = [0, 0] cov = [[3, 2], [2, 2]] # Covariance matrix X = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 200) # Compute the mean of the data mean_vector = np.mean(X, axis=0) # Compute the covariance matrix and its eigenvectors cov_matrix = np.cov(X.T) eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix) # First principal component (direction of maximum variance) pc1 = eigenvectors[:, np.argmax(eigenvalues)] # Plot the data plt.figure(figsize=(8,6)) plt.scatter(X[:,0], X[:,1], alpha=0.3, label="Data points") plt.quiver( mean_vector[0], mean_vector[1], pc1[0], pc1[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1.5, color='red', width=0.01, label="First principal component" ) plt.xlabel("Feature 1") plt.ylabel("Feature 2") plt.title("Direction of Maximum Variance (First Principal Component)") plt.legend() plt.axis("equal") plt.show()
Identificando le direzioni in cui i dati variano maggiormente, PCA consente di ridurre le dimensioni preservando le informazioni più importanti. Concentrarsi su queste direzioni di massima varianza garantisce che la struttura e i pattern del dataset rimangano chiari. Questa comprensione prepara ad approfondire le basi matematiche della PCA nelle prossime sezioni.
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