Comprendere l'Inferenza Bayesiana nell'IA

Che cos'è l'Inferenza Bayesiana?

L'inferenza bayesiana è un metodo statistico utilizzato per aggiornare le probabilità sulla base di nuove evidenze. I sistemi di intelligenza artificiale utilizzano l'inferenza bayesiana per perfezionare le proprie previsioni man mano che raccolgono nuovi dati.

Immagina di dover prevedere il tempo. Se nella tua città di solito c'è il sole ma noti la formazione di nuvole scure, modifichi la tua aspettativa e prevedi pioggia. Questo è il funzionamento dell'inferenza bayesiana: si parte da una convinzione iniziale (prior), si incorporano nuovi dati e si aggiorna la convinzione di conseguenza.

dove:

• $P(H|D)$ è la probabilità a posteriori, ovvero la probabilità aggiornata dell'ipotesi $H$ dato il dato $D$;
• $P(D|H)$ è la verosimiglianza, che rappresenta quanto bene l'ipotesi $H$ spiega il dato $D$;
• $P(H)$ è la probabilità a priori, la convinzione iniziale prima di osservare $D$;
• $P(D)$ è la verosimiglianza marginale, che funge da costante di normalizzazione.

Enunciato del problema: Un filtro antispam AI utilizza la classificazione bayesiana.

• Il 20% delle email sono spam (P(Spam) = 0.2);
• L'80% delle email non sono spam (P(Not Spam) = 0.8);
• Il 90% delle email di spam contiene la parola “urgent” (P(Urgent | Spam) = 0.9);
• Il 10% delle email regolari contiene la parola “urgent” (P(Urgent | Not Spam) = 0.1).

Domanda:
Se un'email contiene la parola "urgent", qual è la probabilità che sia spam (P(Spam | Urgent))?

Processi di Markov: Prevedere il futuro

Cos'è una catena di Markov?

Una catena di Markov è un modello matematico in cui lo stato successivo dipende solo dallo stato attuale e non da quelli precedenti. È ampiamente utilizzata nell'IA per modellare dati sequenziali e processi decisionali. Ecco le formule chiave utilizzate nei processi di Markov:

1. Formula della probabilità di transizione
La probabilità che un sistema si trovi nello stato $S_j$ al tempo $t$ dato il suo stato precedente $S_i$ al tempo $t-1$:

dove $T_{ij}$ è la probabilità di transizione dallo stato $S_i$ allo stato $S_j$;

2. Aggiornamento della probabilità di stato
La distribuzione di probabilità sugli stati al tempo $t$:

dove:

• $P_t$ è la probabilità di stato al tempo $t$.
• $P_{t-1}$ è la probabilità di stato al tempo $t-1$.
• $T$ è la matrice di transizione.

3. Probabilità allo Stato Stazionario (Comportamento a Lungo Termine)
Per un processo di Markov che si protrae nel tempo, la probabilità allo stato stazionario $P_s$ soddisfa:

Questa equazione viene risolta per trovare la distribuzione di equilibrio in cui le probabilità non cambiano nel tempo.

Enunciato del Problema: In una certa città, il tempo meteorologico passa tra giornate di Sole e giornate di Pioggia. La probabilità di transizione tra questi stati è data dalla seguente matrice di transizione:

Dove:

• 0.7 è la probabilità che dopo una giornata Soleggiata segua ancora una giornata Soleggiata;
• 0.3 è la probabilità che una giornata Soleggiata diventi Piovosa;
• 0.6 è la probabilità che una giornata Piovosa diventi Soleggiata;
• 0.4 è la probabilità che dopo una giornata Piovosa segua ancora una giornata Piovosa.

Se oggi il tempo è Soleggiato, qual è la probabilità che tra due giorni sia Piovoso?

Processi di Decisione di Markov (MDP): Insegnare all'IA a Prendere Decisioni

Gli MDP estendono le catene di Markov introducendo azioni e ricompense, consentendo all'IA di prendere decisioni ottimali invece di limitarsi a prevedere gli stati.

Esempio: Un Robot in un Labirinto

Un robot che naviga in un labirinto apprende quali percorsi portano all'uscita considerando:

• Azioni: muoversi a sinistra, destra, in alto o in basso;
• Ricompense: raggiungere con successo l'obiettivo, colpire un muro o incontrare un ostacolo;
• Strategia Ottimale: scegliere le azioni che massimizzano la ricompensa.

Gli MDP sono ampiamente utilizzati nell'IA per i giochi, nella robotica e nei sistemi di raccomandazione per ottimizzare il processo decisionale.

Modelli di Markov Nascosti (HMM): Comprendere Schemi Nascosti

Un HMM è un modello di Markov in cui alcuni stati sono nascosti e l'IA deve dedurli in base ai dati osservati.

Esempio: Riconoscimento Vocale

Quando si parla con Siri o Alexa, l'IA non vede direttamente le parole. Invece, elabora le onde sonore e cerca di determinare la sequenza di parole più probabile.

Gli HMM sono fondamentali in:

• Riconoscimento Vocale e Testuale: l'IA decifra il linguaggio parlato e la scrittura a mano;
• Previsioni di Mercato Azionario: l'IA modella tendenze nascoste per prevedere le fluttuazioni di mercato;
• Robotica e Gaming: agenti controllati dall'IA deducono stati nascosti da eventi osservabili.

Conclusione

L'inferenza bayesiana fornisce un metodo rigoroso per aggiornare le credenze nei modelli di IA, mentre i processi di Markov offrono strumenti potenti per modellare dipendenze sequenziali. Questi principi sono alla base delle principali applicazioni di IA generativa, tra cui l'apprendimento per rinforzo, i modelli grafici probabilistici e la generazione strutturata di sequenze.