Contenuti del Corso

Introduzione al Reinforcement Learning

1. Teoria Fondamentale dell'RL

Che cos'è l'RL?RL Rispetto ad Altri Paradigmi di Apprendimento Processo Decisionale di Markov Episodi e Ritorni Modello, Politica e Valori Esplorazione vs Sfruttamento Basi di Gymnasium Sfida: Configurazione di un Ambiente

2. Problema del Multi-Armed Bandit

Introduzione al Problema Valori d'Azione Algoritmo Epsilon-Greedy Algoritmo del Limite Superiore di Confidenza Algoritmo dei Banditi a Gradiente Sfida: Multi-Armed Banditi

3. Programmazione Dinamica

Che cos'è la programmazione dinamica?Equazioni di Bellman Condizioni di Ottimalità Valutazione della Policy Miglioramento della Policy Iterazione Generalizzata delle Politiche Iterazione delle Politiche Iterazione del Valore Sfida: Programmazione Dinamica

4. Metodi Monte Carlo

Cosa Sono i Metodi Monte Carlo?Stima della Funzione di Valore Controllo Monte Carlo Approcci di Esplorazione Controllo Monte Carlo On-Policy Controllo Monte Carlo Off-Policy Implementazioni Incrementali Sfida: Metodi Monte Carlo

5. Apprendimento a Differenza Temporale

Che cos'è l'Apprendimento a Differenza Temporale?TD(0): Stima della Funzione di Valore SARSA: Apprendimento TD On-Policy Q-Learning: Apprendimento TD Off-Policy Generalizzazione dell'Apprendimento TD Sfida: Apprendimento a Differenza Temporale

Equazioni di Bellman

Definizione

Un'equazione di Bellman è un'equazione funzionale che definisce una funzione di valore in forma ricorsiva.

Per chiarire la definizione:

Un'equazione funzionale è un'equazione la cui soluzione è una funzione. Per l'equazione di Bellman, questa soluzione è la funzione di valore per cui l'equazione è stata formulata;
Una forma ricorsiva significa che il valore nello stato attuale è espresso in termini di valori negli stati futuri.

In breve, risolvere l'equazione di Bellman fornisce la funzione di valore desiderata e derivare questa equazione richiede l'identificazione di una relazione ricorsiva tra stati attuali e futuri.

Funzione di valore dello stato

Come promemoria, ecco una funzione di valore di stato in forma compatta:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} v_\pi(s) = \E_\pi[G_t | S_t = s]

Per ottenere l'equazione di Bellman per questa funzione di valore, espandiamo il lato destro dell'equazione e definiamo una relazione ricorsiva:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} \begin{aligned} v_\pi(s) &= \E_\pi[G_t | S_t = s]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... | S_t = s]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma \sum_{k=0}^\infty \gamma^k R_{t+k+2} | S_t = s]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma G_{t+1} | S_t = s]\\ &= \sum_a \pi(a | s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma \E_\pi\Bigl[G_{t+1} | S_{t+1} = s'\Bigr]\Bigr)\\ &= \sum_a \pi(a | s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr) \end{aligned}

L'ultima equazione di questa catena è un'equazione di Bellman per la funzione di valore di stato.

Intuizione

Per determinare il valore di uno stato $s$ , occorre:

Considerare tutte le possibili azioni $a$ che si possono intraprendere da questo stato, ciascuna ponderata in base alla probabilità di scelta secondo la politica corrente $\pi(a | s)$ ;
Per ogni azione $a$ , considerare tutti i possibili stati successivi $s'$ e ricompense $r$ , ponderati in base alla loro probabilità $p(s', r | s, a)$ ;
Per ciascuno di questi esiti, sommare la ricompensa immediata $r$ ottenuta più il valore scontato dello stato successivo $\gamma v_\pi(s')$ .

Sommando tutte queste possibilità si ottiene il valore atteso totale dello stato $s$ secondo la politica corrente.

Funzione di valore d'azione

Ecco una funzione di valore d'azione in forma compatta:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} q_\pi(s, a) = \E_\pi[G_t | S_t = s, A_t = a]

La derivazione dell'equazione di Bellman per questa funzione è abbastanza simile a quella precedente:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} \begin{aligned} q_\pi(s, a) &= \E_\pi[G_t | S_t = s, A_t = a]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... | S_t = s, A_t = a]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma \sum_{k=0}^\infty \gamma^k R_{t+k+2} | S_t = s, A_t = a]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma G_{t+1} | S_t = s, A_t = a]\\ &= \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma \E_\pi\Bigl[G_{t+1} | S_{t+1} = s'\Bigr]\Bigr)\\ &= \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Biggl(r + \gamma \sum_{a'} \pi(a' | s') \Bigl(\E_\pi\Bigl[G_{t+1} | S_{t+1} = s', A_{t+1} = a'\Bigr]\Bigr)\Biggr)\\ &= \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Biggl(r + \gamma \sum_{a'} \pi(a' | s') q(s', a')\Biggr) \end{aligned}

L'ultima equazione di questa catena è un'equazione di Bellman per la funzione di valore d'azione.

Intuizione

Per trovare il valore di una coppia stato-azione $(s, a)$ , occorre:

Considerare tutti i possibili stati successivi $s'$ e ricompense $r$ , pesati in base alla loro probabilità $p(s', r | s, a)$ ;
Per ciascuno di questi esiti, sommare la ricompensa immediata $r$ ottenuta più il valore scontato dello stato successivo;
Per calcolare il valore dello stato successivo $s'$ , per tutte le azioni $a'$ possibili dallo stato $s'$ , moltiplicare il valore dell'azione $q(s', a')$ per la probabilità di scegliere $a'$ nello stato $s'$ secondo la politica attuale $\pi(a' | s'$ . Infine, sommare tutto per ottenere il valore finale.

Sommando tutte queste possibilità, si ottiene il valore atteso totale della coppia stato-azione $(s, a)$ sotto la politica attuale.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 2

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Introduzione al Reinforcement Learning

1. Teoria Fondamentale dell'RL

2. Problema del Multi-Armed Bandit

Introduzione al Problema Valori d'Azione Algoritmo Epsilon-Greedy Algoritmo del Limite Superiore di Confidenza Algoritmo dei Banditi a Gradiente Sfida: Multi-Armed Banditi

3. Programmazione Dinamica

4. Metodi Monte Carlo

5. Apprendimento a Differenza Temporale

Equazioni di Bellman

Definizione

Un'equazione di Bellman è un'equazione funzionale che definisce una funzione di valore in forma ricorsiva.

Per chiarire la definizione:

Un'equazione funzionale è un'equazione la cui soluzione è una funzione. Per l'equazione di Bellman, questa soluzione è la funzione di valore per cui l'equazione è stata formulata;
Una forma ricorsiva significa che il valore nello stato attuale è espresso in termini di valori negli stati futuri.

Funzione di valore dello stato

Come promemoria, ecco una funzione di valore di stato in forma compatta:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} v_\pi(s) = \E_\pi[G_t | S_t = s]

Per ottenere l'equazione di Bellman per questa funzione di valore, espandiamo il lato destro dell'equazione e definiamo una relazione ricorsiva:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} \begin{aligned} v_\pi(s) &= \E_\pi[G_t | S_t = s]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... | S_t = s]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma \sum_{k=0}^\infty \gamma^k R_{t+k+2} | S_t = s]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma G_{t+1} | S_t = s]\\ &= \sum_a \pi(a | s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma \E_\pi\Bigl[G_{t+1} | S_{t+1} = s'\Bigr]\Bigr)\\ &= \sum_a \pi(a | s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma v_\pi(s')\Bigr) \end{aligned}

L'ultima equazione di questa catena è un'equazione di Bellman per la funzione di valore di stato.

Intuizione

Per determinare il valore di uno stato $s$ , occorre:

Considerare tutte le possibili azioni $a$ che si possono intraprendere da questo stato, ciascuna ponderata in base alla probabilità di scelta secondo la politica corrente $\pi(a | s)$ ;
Per ogni azione $a$ , considerare tutti i possibili stati successivi $s'$ e ricompense $r$ , ponderati in base alla loro probabilità $p(s', r | s, a)$ ;
Per ciascuno di questi esiti, sommare la ricompensa immediata $r$ ottenuta più il valore scontato dello stato successivo $\gamma v_\pi(s')$ .

Sommando tutte queste possibilità si ottiene il valore atteso totale dello stato $s$ secondo la politica corrente.

Funzione di valore d'azione

Ecco una funzione di valore d'azione in forma compatta:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} q_\pi(s, a) = \E_\pi[G_t | S_t = s, A_t = a]

La derivazione dell'equazione di Bellman per questa funzione è abbastanza simile a quella precedente:

\def\E{\operatorname{\mathbb{E}}} \begin{aligned} q_\pi(s, a) &= \E_\pi[G_t | S_t = s, A_t = a]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + ... | S_t = s, A_t = a]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma \sum_{k=0}^\infty \gamma^k R_{t+k+2} | S_t = s, A_t = a]\\ &= \E_\pi[R_{t+1} + \gamma G_{t+1} | S_t = s, A_t = a]\\ &= \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Bigl(r + \gamma \E_\pi\Bigl[G_{t+1} | S_{t+1} = s'\Bigr]\Bigr)\\ &= \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Biggl(r + \gamma \sum_{a'} \pi(a' | s') \Bigl(\E_\pi\Bigl[G_{t+1} | S_{t+1} = s', A_{t+1} = a'\Bigr]\Bigr)\Biggr)\\ &= \sum_{s', r} p(s', r | s, a)\Biggl(r + \gamma \sum_{a'} \pi(a' | s') q(s', a')\Biggr) \end{aligned}

L'ultima equazione di questa catena è un'equazione di Bellman per la funzione di valore d'azione.

Intuizione

Per trovare il valore di una coppia stato-azione $(s, a)$ , occorre:

Considerare tutti i possibili stati successivi $s'$ e ricompense $r$ , pesati in base alla loro probabilità $p(s', r | s, a)$ ;
Per ciascuno di questi esiti, sommare la ricompensa immediata $r$ ottenuta più il valore scontato dello stato successivo;
Per calcolare il valore dello stato successivo $s'$ , per tutte le azioni $a'$ possibili dallo stato $s'$ , moltiplicare il valore dell'azione $q(s', a')$ per la probabilità di scegliere $a'$ nello stato $s'$ secondo la politica attuale $\pi(a' | s'$ . Infine, sommare tutto per ottenere il valore finale.

Sommando tutte queste possibilità, si ottiene il valore atteso totale della coppia stato-azione $(s, a)$ sotto la politica attuale.

Tutto è chiaro?

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