Impara Implementazione della Probabilità Condizionata e del Teorema di Bayes in Python

Probabilità Condizionata

La probabilità condizionata misura la possibilità che un evento si verifichi dato che un altro evento è già accaduto.

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interpretazione: se sta piovendo, c'è una probabilità del 50% di arrivare in ritardo al lavoro.

Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes consente di determinare $P(A|B)$ quando è difficile misurarlo direttamente, mettendolo in relazione con $P(B|A)$ che spesso è più semplice da stimare.

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Dove:

$P(A \mid B)$ - probabilità di A dato B (obiettivo);
$P(B \mid A)$ - probabilità di B dato A;
$P(A)$ - probabilità a priori di A;
$P(B)$ - probabilità totale di B.

Espansione di $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interpretazione: Anche in caso di test positivo, la probabilità effettiva di avere la malattia è solo circa del 16,7%.

Punti Chiave

La probabilità condizionata determina la probabilità che A si verifichi sapendo che B è già avvenuto;
Il Teorema di Bayes inverte le probabilità condizionate per aggiornare le convinzioni quando la misurazione diretta è difficile;
Entrambi sono fondamentali in data science, test medici e machine learning.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 4

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Suggested prompts:

Can you explain the difference between joint, marginal, and conditional probability?

How does Bayes' theorem help in real-world scenarios like medical testing?

Can you walk me through the calculations in the code examples step by step?

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Probabilità Condizionata

La probabilità condizionata misura la possibilità che un evento si verifichi dato che un altro evento è già accaduto.

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Interpretazione: se sta piovendo, c'è una probabilità del 50% di arrivare in ritardo al lavoro.

Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes consente di determinare $P(A|B)$ quando è difficile misurarlo direttamente, mettendolo in relazione con $P(B|A)$ che spesso è più semplice da stimare.

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Dove:

$P(A \mid B)$ - probabilità di A dato B (obiettivo);
$P(B \mid A)$ - probabilità di B dato A;
$P(A)$ - probabilità a priori di A;
$P(B)$ - probabilità totale di B.

Espansione di $P(B)$

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Interpretazione: Anche in caso di test positivo, la probabilità effettiva di avere la malattia è solo circa del 16,7%.

Punti Chiave

La probabilità condizionata determina la probabilità che A si verifichi sapendo che B è già avvenuto;
Il Teorema di Bayes inverte le probabilità condizionate per aggiornare le convinzioni quando la misurazione diretta è difficile;
Entrambi sono fondamentali in data science, test medici e machine learning.

Tutto è chiaro?

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