Impara Comprendere il Campionamento | Probabilità e Statistica

Definizione

Campionamento è il processo di selezione di un sottoinsieme di dati da una popolazione più ampia per ottenere informazioni e fare inferenze sull'intero insieme. Poiché spesso è impraticabile o impossibile raccogliere dati da un'intera popolazione, il campionamento consente un'analisi efficiente mantenendo la qualità e l'accuratezza dei risultati.

Campionamento casuale semplice

Ogni membro della popolazione ha la stessa probabilità di essere selezionato.
Questo è simile all'estrazione di nomi da un cappello.

P(\text{Selezionare un individuo qualsiasi}) = \frac{1}{N}

Dove:

$N$ = dimensione della popolazione.

Esempio 1:

Hai una classe di 30 studenti. Vuoi selezionarne casualmente 5 per un sondaggio.

Soluzione: Utilizza un generatore di numeri casuali per selezionare 5 numeri unici tra 1 e 30. Ogni studente ha una probabilità di $\tfrac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}}$ di essere selezionato.

Esempio 2:

Hai una classe di 30 studenti e vuoi selezionarne 5 per partecipare a un sondaggio.

Popolazione totale: $N=30$ ;
Dimensione del campione: $n=5$ .

Qual è la probabilità che Alice e Bob vengano entrambi selezionati?

Numero totale di modi per scegliere 5 studenti da 30:

\binom{30}{5}

Numero di campioni favorevoli contenenti sia Alice che Bob:
Fissa Alice e Bob — scegli altri 3 tra i restanti 28:

\binom{28}{3}

Quindi la probabilità è:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Campionamento stratificato

La popolazione viene suddivisa in sottogruppi significativi (strati) e vengono estratti campioni casuali da ciascuno.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Dove:

$N_h$ - dimensione del sottogruppo $h$ ;
$N$ - dimensione totale della popolazione;
$n$ - dimensione totale del campione;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ - dimensione del campione dal sottogruppo $h$ .

Esempio:

Una classe ha 30 studenti: 18 maschi e 12 femmine. Si desidera campionare 10 studenti in modo proporzionale:

Dai maschi: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
Dalle femmine: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Perché è utile: Garantisce la rappresentanza dei sottogruppi chiave.

Campionamento a grappolo

La popolazione viene suddivisa in gruppi (grappoli) e interi grappoli vengono selezionati casualmente.

c = \text{numero di grappoli da campionare}

Dove:

I grappoli sono gruppi preesistenti (ad esempio, classi, squadre);
Si selezionano casualmente interi grappoli, non singoli individui.

Esempio 1:

La tua scuola ha 5 classi. Si desidera un campione di 25 studenti, ma intervistare i singoli individui richiede troppo tempo.

Soluzione: Selezionare casualmente 1 classe (poiché ciascuna ha circa 25 studenti) e intervistare tutti.

Esempio 2:

Un'università ha 20 edifici dormitorio, ciascuno con 50 studenti. Si selezionano casualmente 4 dormitori e si intervistano tutti gli studenti all'interno.

Numero di cluster: $N=20$ ;
Cluster selezionati: $n=4$ ;
Studenti per dormitorio: $M=50$ ;
Totale studenti campionati: $n \times M = 200$ .

Qual è la probabilità che uno studente specifico (ad esempio, Sarah) sia incluso?
È uguale alla probabilità che il suo dormitorio venga selezionato:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Caso complesso:
Se 10 dormitori hanno 30 studenti e 10 ne hanno 70, e si selezionano casualmente 4 dormitori, qual è la dimensione campionaria attesa?

Sia:

$D_{30} = 10$ dormitori con 30 studenti;
$D_{70} = 10$ dormitori con 70 studenti.

Dimensione campionaria attesa:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Quindi, anche se i cluster differiscono per dimensione, la dimensione campionaria attesa rimane la stessa se i tipi di dormitorio sono bilanciati.

Campionamento sistematico

Selezionare ogni $k$ -esimo elemento da un elenco.

k = \frac{N}{n}

Dove:

$N$ - popolazione totale;
$n$ - dimensione del campione desiderata;
$k$ - intervallo di campionamento.

Esempio:

Un elenco di 1000 clienti. Si desidera un campione di 100. Quindi:

k = \frac{1000}{100} = 10

Scegliere un punto di partenza casuale (ad esempio, 7), poi selezionare ogni decimo cliente: 7, 17, 27, ecc.

Perché è utile: Facile da implementare e sistematico.

Tutti i Metodi Applicati a un Unico Problema

Impostazione del problema:
Stai studiando la soddisfazione della mensa in una scuola con 300 studenti distribuiti in 10 classi (30 per classe). Vuoi un campione di 30 studenti.

Campionamento casuale semplice: scegli casualmente 30 nomi dall'elenco completo;
Campionamento stratificato: se il 60% sono ragazzi e il 40% ragazze, campiona 18 ragazzi e 12 ragazze;
Campionamento a grappolo: seleziona casualmente 1 classe (30 studenti) e intervista tutti;
Campionamento sistematico: scegli ogni decimo studente da un elenco ordinato.

Riepilogo

Il campionamento riduce lo sforzo di raccolta dati consentendo la generalizzazione;
Il campionamento casuale e stratificato sono i migliori per l'accuratezza;
Il campionamento a grappolo è efficiente ma funziona meglio quando i gruppi sono simili;
Il campionamento sistematico è semplice e pratico;
Il campionamento di convenienza è rischioso e dovrebbe essere evitato quando possibile;
Documentare sempre il metodo di campionamento nell'analisi reale.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 5

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When should I use each sampling method?

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Definizione

Campionamento casuale semplice

Ogni membro della popolazione ha la stessa probabilità di essere selezionato.
Questo è simile all'estrazione di nomi da un cappello.

P(\text{Selezionare un individuo qualsiasi}) = \frac{1}{N}

Dove:

$N$ = dimensione della popolazione.

Esempio 1:

Hai una classe di 30 studenti. Vuoi selezionarne casualmente 5 per un sondaggio.

Esempio 2:

Hai una classe di 30 studenti e vuoi selezionarne 5 per partecipare a un sondaggio.

Popolazione totale: $N=30$ ;
Dimensione del campione: $n=5$ .

Qual è la probabilità che Alice e Bob vengano entrambi selezionati?

Numero totale di modi per scegliere 5 studenti da 30:

\binom{30}{5}

Numero di campioni favorevoli contenenti sia Alice che Bob:
Fissa Alice e Bob — scegli altri 3 tra i restanti 28:

\binom{28}{3}

Quindi la probabilità è:

P = \frac{\binom{28}{3}}{\binom{30}{5}}

Campionamento stratificato

La popolazione viene suddivisa in sottogruppi significativi (strati) e vengono estratti campioni casuali da ciascuno.

n_h = \frac{N_h}{N} \times n

Dove:

$N_h$ - dimensione del sottogruppo $h$ ;
$N$ - dimensione totale della popolazione;
$n$ - dimensione totale del campione;
$n_{\raisebox{-1pt}{$h$}}$ - dimensione del campione dal sottogruppo $h$ .

Esempio:

Una classe ha 30 studenti: 18 maschi e 12 femmine. Si desidera campionare 10 studenti in modo proporzionale:

Dai maschi: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$18$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 6$ ;
Dalle femmine: $\tfrac{\raisebox{1pt}{$12$}}{\raisebox{-1pt}{$30$}} \times 10 = 4$ .

Perché è utile: Garantisce la rappresentanza dei sottogruppi chiave.

Campionamento a grappolo

La popolazione viene suddivisa in gruppi (grappoli) e interi grappoli vengono selezionati casualmente.

c = \text{numero di grappoli da campionare}

Dove:

I grappoli sono gruppi preesistenti (ad esempio, classi, squadre);
Si selezionano casualmente interi grappoli, non singoli individui.

Esempio 1:

La tua scuola ha 5 classi. Si desidera un campione di 25 studenti, ma intervistare i singoli individui richiede troppo tempo.

Soluzione: Selezionare casualmente 1 classe (poiché ciascuna ha circa 25 studenti) e intervistare tutti.

Esempio 2:

Un'università ha 20 edifici dormitorio, ciascuno con 50 studenti. Si selezionano casualmente 4 dormitori e si intervistano tutti gli studenti all'interno.

Numero di cluster: $N=20$ ;
Cluster selezionati: $n=4$ ;
Studenti per dormitorio: $M=50$ ;
Totale studenti campionati: $n \times M = 200$ .

Qual è la probabilità che uno studente specifico (ad esempio, Sarah) sia incluso?
È uguale alla probabilità che il suo dormitorio venga selezionato:

P(\text{Sarah selected}) = \frac{4}{20} = 0.2

Caso complesso:
Se 10 dormitori hanno 30 studenti e 10 ne hanno 70, e si selezionano casualmente 4 dormitori, qual è la dimensione campionaria attesa?

Sia:

$D_{30} = 10$ dormitori con 30 studenti;
$D_{70} = 10$ dormitori con 70 studenti.

Dimensione campionaria attesa:

E = \frac{10}{20} \cdot (4 \times 30) + \frac{10}{20} \cdot (4 \times 70) = 200

Quindi, anche se i cluster differiscono per dimensione, la dimensione campionaria attesa rimane la stessa se i tipi di dormitorio sono bilanciati.

Campionamento sistematico

Selezionare ogni $k$ -esimo elemento da un elenco.

k = \frac{N}{n}

Dove:

$N$ - popolazione totale;
$n$ - dimensione del campione desiderata;
$k$ - intervallo di campionamento.

Esempio:

Un elenco di 1000 clienti. Si desidera un campione di 100. Quindi:

k = \frac{1000}{100} = 10

Scegliere un punto di partenza casuale (ad esempio, 7), poi selezionare ogni decimo cliente: 7, 17, 27, ecc.

Perché è utile: Facile da implementare e sistematico.

Tutti i Metodi Applicati a un Unico Problema

Impostazione del problema:
Stai studiando la soddisfazione della mensa in una scuola con 300 studenti distribuiti in 10 classi (30 per classe). Vuoi un campione di 30 studenti.

Campionamento casuale semplice: scegli casualmente 30 nomi dall'elenco completo;
Campionamento stratificato: se il 60% sono ragazzi e il 40% ragazze, campiona 18 ragazzi e 12 ragazze;
Campionamento a grappolo: seleziona casualmente 1 classe (30 studenti) e intervista tutti;
Campionamento sistematico: scegli ogni decimo studente da un elenco ordinato.

Riepilogo

Il campionamento riduce lo sforzo di raccolta dati consentendo la generalizzazione;
Il campionamento casuale e stratificato sono i migliori per l'accuratezza;
Il campionamento a grappolo è efficiente ma funziona meglio quando i gruppi sono simili;
Il campionamento sistematico è semplice e pratico;
Il campionamento di convenienza è rischioso e dovrebbe essere evitato quando possibile;
Documentare sempre il metodo di campionamento nell'analisi reale.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 5