Impara Comprendere le Basi della Probabilità

Definizione

Probabilità è la misura della possibilità che un evento si verifichi. Quantifica l'incertezza ed è fondamentale in ambiti come data science, statistica e machine learning, aiutando ad analizzare schemi, fare previsioni e valutare i rischi.

Definizione di base della probabilità

La probabilità che si verifichi un evento $A$ è data da:

P(A) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti possibili}}

Questa formula indica in quanti modi può verificarsi l'evento desiderato rispetto a tutti gli esiti possibili. La probabilità varia sempre da 0 (impossibile) a 1 (certo).

Comprendere spazio campionario ed eventi

Spazio campionario - tutti gli esiti possibili di un esperimento;
Evento - un esito specifico o un insieme di esiti di interesse.

Esempio con il lancio di una moneta:

Spazio campionario = {Testa, Croce} ;
Evento A = {Testa} .

Quindi:

P(A) = \frac{P(\text{Testa})}{P(\text{Testa}) + P(\text{Croce})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Regola dell'Unione: "Si verifica A O B"

Definizione: l'unione di due eventi $A \cup B$ rappresenta gli esiti in cui si verifica $A$ , oppure si verifica $B$ , oppure si verificano entrambi.

Formula:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Si sottrae l'intersezione per evitare di contare due volte gli esiti che appartengono a entrambi gli eventi.

Esempio di Unione: Lancio di un Dado

Si lancia un dado a sei facce:

Evento A = {1, 2, 3} (ottenere un numero basso)
Evento B = {2, 4, 6} (ottenere un numero pari)

Unione e intersezione:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Calcoli passo dopo passo:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Applicazione della formula dell'unione:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Regola dell'Intersezione: "Si verificano sia A che B"

Definizione: l'intersezione di due eventi $A \cap B$ rappresenta gli esiti in cui si verificano contemporaneamente sia $A$ che $B$ .

Formula Generale

In tutti i casi:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

dove $P(B|A)$ è la probabilità condizionata che si verifichi $B$ dato che $A$ si è già verificato.

Caso 1: Eventi Indipendenti

Se gli eventi non si influenzano a vicenda (ad esempio, lanciare una moneta e tirare un dado):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esempio:

$P(\text{Testa su una moneta}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 su un dado}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Caso 2: Eventi Dipendenti

Se il risultato del primo evento influenza il secondo (ad esempio, estrarre carte senza reinserimento):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esempio:

$P(\text{la prima carta è un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{la seconda carta è un asso | la prima carta era un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 1

Chieda ad AI

Chieda pure quello che desidera o provi una delle domande suggerite per iniziare la nostra conversazione

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Scorri per mostrare il menu

Definizione

Definizione di base della probabilità

La probabilità che si verifichi un evento $A$ è data da:

P(A) = \frac{\text{Numero di esiti favorevoli}}{\text{Numero totale di esiti possibili}}

Questa formula indica in quanti modi può verificarsi l'evento desiderato rispetto a tutti gli esiti possibili. La probabilità varia sempre da 0 (impossibile) a 1 (certo).

Comprendere spazio campionario ed eventi

Spazio campionario - tutti gli esiti possibili di un esperimento;
Evento - un esito specifico o un insieme di esiti di interesse.

Esempio con il lancio di una moneta:

Spazio campionario = {Testa, Croce} ;
Evento A = {Testa} .

Quindi:

P(A) = \frac{P(\text{Testa})}{P(\text{Testa}) + P(\text{Croce})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Regola dell'Unione: "Si verifica A O B"

Definizione: l'unione di due eventi $A \cup B$ rappresenta gli esiti in cui si verifica $A$ , oppure si verifica $B$ , oppure si verificano entrambi.

Formula:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Si sottrae l'intersezione per evitare di contare due volte gli esiti che appartengono a entrambi gli eventi.

Esempio di Unione: Lancio di un Dado

Si lancia un dado a sei facce:

Evento A = {1, 2, 3} (ottenere un numero basso)
Evento B = {2, 4, 6} (ottenere un numero pari)

Unione e intersezione:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Calcoli passo dopo passo:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Applicazione della formula dell'unione:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Regola dell'Intersezione: "Si verificano sia A che B"

Definizione: l'intersezione di due eventi $A \cap B$ rappresenta gli esiti in cui si verificano contemporaneamente sia $A$ che $B$ .

Formula Generale

In tutti i casi:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

dove $P(B|A)$ è la probabilità condizionata che si verifichi $B$ dato che $A$ si è già verificato.

Caso 1: Eventi Indipendenti

Se gli eventi non si influenzano a vicenda (ad esempio, lanciare una moneta e tirare un dado):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esempio:

$P(\text{Testa su una moneta}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 su un dado}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Caso 2: Eventi Dipendenti

Se il risultato del primo evento influenza il secondo (ad esempio, estrarre carte senza reinserimento):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esempio:

$P(\text{la prima carta è un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{la seconda carta è un asso | la prima carta era un asso}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Quindi:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 1