Impara Comprensione della Probabilità Condizionata e del Teorema di Bayes

Probabilità Condizionata

La probabilità condizionata misura la possibilità che un evento si verifichi dato che un altro evento è già accaduto.

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

dove:

$P(A \mid B)$ indica "la probabilità di A dato B";
$P(A \cap B)$ è la probabilità che si verifichino sia A che B;
$P(B)$ è la probabilità che si verifichi B (deve essere > 0).

Esempio 1: Probabilità Condizionata — Meteo e Traffico

Supponiamo:

Evento A: "Sono in ritardo al lavoro";
Evento B: "Sta piovendo".

Dato:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10% di probabilità che piova E io sia in ritardo);
$P(B) = 0.20$ (20% di probabilità che piova in un giorno qualsiasi).

Allora:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Interpretazione:
Se sta piovendo, c'è il 50% di probabilità che io sia in ritardo al lavoro.

Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes aiuta a trovare $P(A \mid B)$ quando è difficile misurarlo direttamente, mettendolo in relazione con $P(B \mid A)$ .

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Analisi Passo per Passo

Passo 1: Comprendere $P(A \mid B)$
Si legge come "la probabilità di A dato B".

Esempio: Se A = "avere una malattia" e B = "risultare positivo al test", allora $P(A \mid B)$ chiede:
Dato un test positivo, qual è la probabilità che la persona abbia effettivamente la malattia?

Passo 2: Numeratore = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = probabilità di risultare positivo se si ha la malattia (sensibilità del test);
$P(A)$ = probabilità a priori di A (prevalenza della malattia).

Passo 3: Denominatore = $P(B)$
Questa è la probabilità totale che B si verifichi (risultato positivo al test), sia per veri positivi che per falsi positivi.

Espansione:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Dove:

$P(B \mid \neg A)$ = tasso di falsi positivi;
$P(\neg A)$ = probabilità di non avere la malattia.

Teorema di Bayes — Test Medico

Supponiamo:

Evento A: "Avere una malattia";
Evento B: "Risultare positivo al test".

Dati:

Prevalenza della malattia: $P(A) = 0.01$ ;
Sensibilità: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Tasso di falsi positivi: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Passo 1: Calcolare la probabilità totale di risultare positivo

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Passo 2: Applicare il Teorema di Bayes

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Interpretazione:
Anche se il test risulta positivo, c'è solo circa il 16,7% di probabilità di avere effettivamente la malattia — perché la malattia è rara e ci sono falsi positivi.

Punti Chiave

Probabilità condizionata determina la probabilità che A si verifichi sapendo che B è già avvenuto;
Teorema di Bayes inverte le probabilità condizionate, permettendo di aggiornare le convinzioni quando la misurazione diretta è difficile;
Entrambi i concetti sono fondamentali in data science, machine learning, test medici e processi decisionali.

Nota

Pensa al Teorema di Bayes come: "La probabilità di A dato B è uguale alla probabilità che B si verifichi se A è vero, moltiplicata per quanto è probabile A, divisa per quanto è probabile B in generale."

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 5. Capitolo 3

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Probabilità Condizionata

La probabilità condizionata misura la possibilità che un evento si verifichi dato che un altro evento è già accaduto.

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

dove:

$P(A \mid B)$ indica "la probabilità di A dato B";
$P(A \cap B)$ è la probabilità che si verifichino sia A che B;
$P(B)$ è la probabilità che si verifichi B (deve essere > 0).

Esempio 1: Probabilità Condizionata — Meteo e Traffico

Supponiamo:

Evento A: "Sono in ritardo al lavoro";
Evento B: "Sta piovendo".

Dato:

$P(A \cap B) = 0.10$ (10% di probabilità che piova E io sia in ritardo);
$P(B) = 0.20$ (20% di probabilità che piova in un giorno qualsiasi).

Allora:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.10}{0.20} = 0.5

Interpretazione:
Se sta piovendo, c'è il 50% di probabilità che io sia in ritardo al lavoro.

Teorema di Bayes

Il Teorema di Bayes aiuta a trovare $P(A \mid B)$ quando è difficile misurarlo direttamente, mettendolo in relazione con $P(B \mid A)$ .

Formula:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Analisi Passo per Passo

Passo 1: Comprendere $P(A \mid B)$
Si legge come "la probabilità di A dato B".

Passo 2: Numeratore = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

$P(B \mid A)$ = probabilità di risultare positivo se si ha la malattia (sensibilità del test);
$P(A)$ = probabilità a priori di A (prevalenza della malattia).

Passo 3: Denominatore = $P(B)$
Questa è la probabilità totale che B si verifichi (risultato positivo al test), sia per veri positivi che per falsi positivi.

Espansione:

P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)P(\neg A)

Dove:

$P(B \mid \neg A)$ = tasso di falsi positivi;
$P(\neg A)$ = probabilità di non avere la malattia.

Teorema di Bayes — Test Medico

Supponiamo:

Evento A: "Avere una malattia";
Evento B: "Risultare positivo al test".

Dati:

Prevalenza della malattia: $P(A) = 0.01$ ;
Sensibilità: $P(B \mid A) = 0.99$ ;
Tasso di falsi positivi: $P(B \mid \neg A) = 0.05$ .

Passo 1: Calcolare la probabilità totale di risultare positivo

P(B) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594

Passo 2: Applicare il Teorema di Bayes

P(A \mid B) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} \approx 0.167

Interpretazione:
Anche se il test risulta positivo, c'è solo circa il 16,7% di probabilità di avere effettivamente la malattia — perché la malattia è rara e ci sono falsi positivi.

Punti Chiave

Probabilità condizionata determina la probabilità che A si verifichi sapendo che B è già avvenuto;
Teorema di Bayes inverte le probabilità condizionate, permettendo di aggiornare le convinzioni quando la misurazione diretta è difficile;
Entrambi i concetti sono fondamentali in data science, machine learning, test medici e processi decisionali.

Nota

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