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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Introduzione alle Trasformazioni di Matrici | Fondamenti di Algebra Lineare
Matematica per la Data Science

bookIntroduzione alle Trasformazioni di Matrici

Equazioni Matriciali

Un'equazione matriciale può essere scritta come:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Dove:

  • AA è la matrice dei coefficienti;
  • x⃗\vec{x} è il vettore delle variabili;
  • b⃗\vec{b} è il vettore delle costanti.

Rappresentazione Matriciale dei Sistemi Lineari

Considerare il sistema lineare:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Questo può essere riscritto come:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Scomposizione della Moltiplicazione Matriciale

La moltiplicazione di una matrice per un vettore rappresenta una combinazione lineare:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Sistema di esempio in forma matriciale

Il sistema:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Può essere espresso come:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrici come trasformazioni

Una matrice trasforma vettori nello spazio.

Ad esempio:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Questa matrice definisce come gli assi vengono trasformati tramite la moltiplicazione.

Scalatura con le matrici

Per applicare una scalatura a un vettore si utilizza:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Dove:

  • sxs_x - il fattore di scala nella direzione x;
  • sys_y - il fattore di scala nella direzione y.

Esempio: scalatura del punto (2, 3) per 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Quindi:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotazione con matrici

Per ruotare un vettore di un angolo θ\theta attorno all'origine:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Esempio: ruotare (2, 3) di 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Quindi:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Riflesso rispetto all'asse x

Matrice di riflessione:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Utilizzando v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Trasformazione di shearing (shear in direzione x)

Lo shearing sposta un asse in base all'altro.

Per applicare uno shear nella direzione x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Se k=1.5k = 1.5 e v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Trasformazione Identità

La matrice identità non esegue alcuna trasformazione:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Per qualsiasi vettore v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Qual è la forma matriciale di questo sistema di equazioni?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 4. Capitolo 5

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Un'equazione matriciale può essere scritta come:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Dove:

  • AA è la matrice dei coefficienti;
  • x⃗\vec{x} è il vettore delle variabili;
  • b⃗\vec{b} è il vettore delle costanti.

Rappresentazione Matriciale dei Sistemi Lineari

Considerare il sistema lineare:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Questo può essere riscritto come:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Scomposizione della Moltiplicazione Matriciale

La moltiplicazione di una matrice per un vettore rappresenta una combinazione lineare:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Sistema di esempio in forma matriciale

Il sistema:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Può essere espresso come:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrici come trasformazioni

Una matrice trasforma vettori nello spazio.

Ad esempio:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Questa matrice definisce come gli assi vengono trasformati tramite la moltiplicazione.

Scalatura con le matrici

Per applicare una scalatura a un vettore si utilizza:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Dove:

  • sxs_x - il fattore di scala nella direzione x;
  • sys_y - il fattore di scala nella direzione y.

Esempio: scalatura del punto (2, 3) per 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Quindi:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotazione con matrici

Per ruotare un vettore di un angolo θ\theta attorno all'origine:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Esempio: ruotare (2, 3) di 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Quindi:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Riflesso rispetto all'asse x

Matrice di riflessione:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Utilizzando v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Trasformazione di shearing (shear in direzione x)

Lo shearing sposta un asse in base all'altro.

Per applicare uno shear nella direzione x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Se k=1.5k = 1.5 e v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Trasformazione Identità

La matrice identità non esegue alcuna trasformazione:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Per qualsiasi vettore v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Qual è la forma matriciale di questo sistema di equazioni?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

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Come possiamo migliorarlo?

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