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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Introduzione a autovettori e autovalori | Fondamenti di Algebra Lineare
Matematica per la Data Science

bookIntroduzione a autovettori e autovalori

Note
Definizione

Autovalori e autovettori descrivono come una matrice trasforma i vettori nello spazio. Un autovettore è un vettore non nullo la cui direzione rimane invariata quando viene moltiplicato per la matrice, e il corrispondente autovalore indica di quanto il vettore viene allungato o compresso.

Cosa sono autovettori e autovalori?

Un autovettore è un vettore non nullo che cambia solo in modulo quando una matrice viene applicata ad esso. Il valore scalare corrispondente che descrive questa variazione è l'autovalore.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Dove:

  • AA è una matrice quadrata;
  • λ\lambda è l'autovalore;
  • v⃗\vec{v} è l'autovettore.

Esempio di matrice e impostazione

Supponiamo:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Vogliamo trovare i valori di λ\lambda e i vettori v⃗\vec{v} tali che:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Equazione Caratteristica

Per trovare λ\lambda, risolvere l'equazione caratteristica:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Sostituire:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Calcolare il determinante:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Risolvere:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Trovare gli Autovettori

Ora risolvere per ciascun λ\lambda.

Per λ=5\lambda = 5:

Sottrarre:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Risolvere:

v1=v2v_1 = v_2

Quindi:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Per λ=2\lambda = 2:

Sottrarre:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Risolvere:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Quindi:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Confermare la coppia autovalore-autovettore

Una volta ottenuto un autovalore λ\lambda e un autovettore v⃗\vec{v}, verificare che:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Esempio:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Nota

Gli autovettori non sono unici.
Se v⃗\vec{v} è un autovettore, allora lo è anche qualsiasi suo multiplo scalare cv⃗c \vec{v} per c≠0c \neq 0.

Esempio:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

è anch'esso un autovettore per λ=5\lambda = 5.

Diagonalizzazione (Avanzato)

Se una matrice AA ha nn autovettori linearmente indipendenti, allora può essere diagonalizzata:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Dove:

  • PP è la matrice degli autovettori come colonne;
  • DD è una matrice diagonale degli autovalori;
  • P−1P^{-1} è l'inversa di PP.

È possibile confermare la diagonalizzazione verificando che A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Questo è utile per calcolare le potenze di AA:

Esempio

Sia:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Trova gli autovalori:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Risolvendo:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Trova gli autovettori:

Per λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Per λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Costruisci P,DP, D e P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Calcola:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Confermato.

Perché è importante:

Per calcolare le potenze di AA, come AkA^k. Poiché DD è diagonale:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Questo rende il calcolo delle potenze di matrici molto più veloce.

Note Importanti

  • Gli autovalori e gli autovettori sono direzioni che rimangono invariate sotto trasformazione;
  • λ\lambda dilata v⃗\vec{v};
  • λ=1\lambda = 1 mantiene v⃗\vec{v} invariato in modulo.
question mark

A cosa serve l'equazione caratteristica?

Select the correct answer

Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 4. Capitolo 11

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Definizione

Autovalori e autovettori descrivono come una matrice trasforma i vettori nello spazio. Un autovettore è un vettore non nullo la cui direzione rimane invariata quando viene moltiplicato per la matrice, e il corrispondente autovalore indica di quanto il vettore viene allungato o compresso.

Cosa sono autovettori e autovalori?

Un autovettore è un vettore non nullo che cambia solo in modulo quando una matrice viene applicata ad esso. Il valore scalare corrispondente che descrive questa variazione è l'autovalore.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Dove:

  • AA è una matrice quadrata;
  • λ\lambda è l'autovalore;
  • v⃗\vec{v} è l'autovettore.

Esempio di matrice e impostazione

Supponiamo:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Vogliamo trovare i valori di λ\lambda e i vettori v⃗\vec{v} tali che:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Equazione Caratteristica

Per trovare λ\lambda, risolvere l'equazione caratteristica:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Sostituire:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Calcolare il determinante:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Risolvere:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Trovare gli Autovettori

Ora risolvere per ciascun λ\lambda.

Per λ=5\lambda = 5:

Sottrarre:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Risolvere:

v1=v2v_1 = v_2

Quindi:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Per λ=2\lambda = 2:

Sottrarre:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Risolvere:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Quindi:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Confermare la coppia autovalore-autovettore

Una volta ottenuto un autovalore λ\lambda e un autovettore v⃗\vec{v}, verificare che:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Esempio:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Nota

Gli autovettori non sono unici.
Se v⃗\vec{v} è un autovettore, allora lo è anche qualsiasi suo multiplo scalare cv⃗c \vec{v} per c≠0c \neq 0.

Esempio:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

è anch'esso un autovettore per λ=5\lambda = 5.

Diagonalizzazione (Avanzato)

Se una matrice AA ha nn autovettori linearmente indipendenti, allora può essere diagonalizzata:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Dove:

  • PP è la matrice degli autovettori come colonne;
  • DD è una matrice diagonale degli autovalori;
  • P−1P^{-1} è l'inversa di PP.

È possibile confermare la diagonalizzazione verificando che A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Questo è utile per calcolare le potenze di AA:

Esempio

Sia:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Trova gli autovalori:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Risolvendo:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Trova gli autovettori:

Per λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Per λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Costruisci P,DP, D e P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Calcola:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Confermato.

Perché è importante:

Per calcolare le potenze di AA, come AkA^k. Poiché DD è diagonale:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Questo rende il calcolo delle potenze di matrici molto più veloce.

Note Importanti

  • Gli autovalori e gli autovettori sono direzioni che rimangono invariate sotto trasformazione;
  • λ\lambda dilata v⃗\vec{v};
  • λ=1\lambda = 1 mantiene v⃗\vec{v} invariato in modulo.
question mark

A cosa serve l'equazione caratteristica?

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Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

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