Introduzione ai Vettori
Un vettore è un oggetto matematico che rappresenta sia la direzione che la magnitudine nello spazio. In data science, i vettori vengono utilizzati per descrivere punti dati, caratteristiche e parametri del modello come i pesi.
Che cos'è un vettore?
Un vettore è una coppia ordinata di numeri con magnitudine e direzione.
v=(x,y)I vettori sono spesso rappresentati come frecce dall'origine a un punto nello spazio. Due vettori sono considerati uguali se hanno la stessa direzione e lunghezza, anche se partono da posizioni diverse.
Il vettore nullo
Il vettore nullo non ha lunghezza né direzione. Si scrive come:
0=(0,0)Addizione e Sottrazione di Vettori
Addizione
Per sommare due vettori, sommare le componenti corrispondenti:
a+b=(a1+b1,a2+b2)È possibile visualizzare questo processo con:
- Metodo testa-coda: spostare la coda di un vettore sulla testa dell'altro;
- Metodo del parallelogramma: entrambi i vettori partono dallo stesso punto e formano un parallelogramma.
Sottrazione
Per sottrarre un vettore da un altro:
a−b=(a1−b1,a2−b2)Questo produce un nuovo vettore che punta dalla testa del secondo alla testa del primo.
Moltiplicazione per uno Scalare
Moltiplicare un vettore per un numero (uno scalare) allunga o inverte il vettore:
k⋅a=(k⋅a1,k⋅a2)- Se k>1, il vettore viene allungato nella stessa direzione;
- Se 0<k<1, il vettore viene ristretto;
- Se k<0, il vettore inverte direzione;
- Se k=0, diventa il vettore nullo.
Modulo (Lunghezza) di un Vettore
Il modulo o lunghezza di un vettore si calcola con il teorema di Pitagora:
∣a∣=a12+a22Questo rappresenta la distanza in linea retta dall'origine alla punta del vettore.
Il Prodotto Scalare
Il prodotto scalare combina due vettori in un singolo numero che riflette quanto sono allineati:
a⋅b=a1b1+a2b2- Se il risultato è positivo: i vettori puntano in una direzione simile;
- Se il risultato è zero: i vettori sono perpendicolari;
- Se il risultato è negativo: puntano in direzioni opposte.
Esempio
Se a=(1,2) and b=(3,4), allora:
a⋅b=1⋅3+2⋅4=11Grazie per i tuoi commenti!
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Can you explain the difference between the head-to-tail and parallelogram methods for vector addition?
How do you find the magnitude of a vector using its components?
Can you give an example of vector subtraction with numbers?
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Un vettore è un oggetto matematico che rappresenta sia la direzione che la magnitudine nello spazio. In data science, i vettori vengono utilizzati per descrivere punti dati, caratteristiche e parametri del modello come i pesi.
Che cos'è un vettore?
Un vettore è una coppia ordinata di numeri con magnitudine e direzione.
v=(x,y)I vettori sono spesso rappresentati come frecce dall'origine a un punto nello spazio. Due vettori sono considerati uguali se hanno la stessa direzione e lunghezza, anche se partono da posizioni diverse.
Il vettore nullo
Il vettore nullo non ha lunghezza né direzione. Si scrive come:
0=(0,0)Addizione e Sottrazione di Vettori
Addizione
Per sommare due vettori, sommare le componenti corrispondenti:
a+b=(a1+b1,a2+b2)È possibile visualizzare questo processo con:
- Metodo testa-coda: spostare la coda di un vettore sulla testa dell'altro;
- Metodo del parallelogramma: entrambi i vettori partono dallo stesso punto e formano un parallelogramma.
Sottrazione
Per sottrarre un vettore da un altro:
a−b=(a1−b1,a2−b2)Questo produce un nuovo vettore che punta dalla testa del secondo alla testa del primo.
Moltiplicazione per uno Scalare
Moltiplicare un vettore per un numero (uno scalare) allunga o inverte il vettore:
k⋅a=(k⋅a1,k⋅a2)- Se k>1, il vettore viene allungato nella stessa direzione;
- Se 0<k<1, il vettore viene ristretto;
- Se k<0, il vettore inverte direzione;
- Se k=0, diventa il vettore nullo.
Modulo (Lunghezza) di un Vettore
Il modulo o lunghezza di un vettore si calcola con il teorema di Pitagora:
∣a∣=a12+a22Questo rappresenta la distanza in linea retta dall'origine alla punta del vettore.
Il Prodotto Scalare
Il prodotto scalare combina due vettori in un singolo numero che riflette quanto sono allineati:
a⋅b=a1b1+a2b2- Se il risultato è positivo: i vettori puntano in una direzione simile;
- Se il risultato è zero: i vettori sono perpendicolari;
- Se il risultato è negativo: puntano in direzioni opposte.
Esempio
Se a=(1,2) and b=(3,4), allora:
a⋅b=1⋅3+2⋅4=11Grazie per i tuoi commenti!
