Impara Operazioni con le Matrici | Fondamenti di Algebra Lineare

Definizione

Una matrice è una disposizione rettangolare di numeri organizzati in righe e colonne, utilizzata per rappresentare e risolvere problemi matematici in modo efficiente.

Prima di affrontare i sistemi lineari, come $A\vec{x} = \vec{b}$ , è fondamentale comprendere il comportamento delle matrici e quali operazioni possono essere eseguite su di esse.

Somma di matrici

È possibile sommare due matrici solo se hanno la stessa forma (stesso numero di righe e colonne).

Siano:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Allora:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Moltiplicazione per uno scalare

È possibile moltiplicare una matrice per uno scalare (un singolo numero):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Moltiplicazione di matrici e compatibilità delle dimensioni

La moltiplicazione tra matrici è un'operazione riga per colonna, non elemento per elemento.

Regola: se la matrice $A$ ha dimensione $(m \times n)$ e la matrice $B$ ha dimensione $(n \times p)$ , allora:

La moltiplicazione $AB$ è valida;
Il risultato sarà una matrice di dimensione $(m \times p)$ .

Esempio:

Siano:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ è $(2 \times 2)$ e $B$ è $(2 \times 1)$ , quindi $AB$ è valida e produce una matrice $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Trasposta di una matrice

La trasposta di una matrice scambia righe e colonne. Si indica come $A^T$ .

Sia:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Allora:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Proprietà:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinante di una matrice

Matrice 2×2

Per:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Il determinante è:

\det(A) = ad - bc

Matrice 3×3

Per:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Il determinante è:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Questo metodo è chiamato espansione per cofattori.

Matrici di dimensioni maggiori (4×4 e oltre) possono essere espanse ricorsivamente.
Il determinante è utile perché indica se una matrice ha un inverso (determinante diverso da zero).

Inversa di una matrice

L'inversa di una matrice quadrata $A$ si indica come $A^{-1}$ . Soddisfa $A \cdot A^{-1} = I$ , dove $I$ è la matrice identità.

Solo le matrici quadrate con determinante diverso da zero hanno un'inversa.

Esempio:

Se la matrice A è:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Allora la sua matrice inversa $A^{-1}$ è:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Dove $\det(A) \neq 0$ .

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 4. Capitolo 3

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Una matrice è una disposizione rettangolare di numeri organizzati in righe e colonne, utilizzata per rappresentare e risolvere problemi matematici in modo efficiente.

Prima di affrontare i sistemi lineari, come $A\vec{x} = \vec{b}$ , è fondamentale comprendere il comportamento delle matrici e quali operazioni possono essere eseguite su di esse.

Somma di matrici

È possibile sommare due matrici solo se hanno la stessa forma (stesso numero di righe e colonne).

Siano:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Allora:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Moltiplicazione per uno scalare

È possibile moltiplicare una matrice per uno scalare (un singolo numero):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Moltiplicazione di matrici e compatibilità delle dimensioni

La moltiplicazione tra matrici è un'operazione riga per colonna, non elemento per elemento.

Regola: se la matrice $A$ ha dimensione $(m \times n)$ e la matrice $B$ ha dimensione $(n \times p)$ , allora:

La moltiplicazione $AB$ è valida;
Il risultato sarà una matrice di dimensione $(m \times p)$ .

Esempio:

Siano:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ è $(2 \times 2)$ e $B$ è $(2 \times 1)$ , quindi $AB$ è valida e produce una matrice $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Trasposta di una matrice

La trasposta di una matrice scambia righe e colonne. Si indica come $A^T$ .

Sia:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Allora:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Proprietà:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinante di una matrice

Matrice 2×2

Per:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Il determinante è:

\det(A) = ad - bc

Matrice 3×3

Per:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Il determinante è:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Questo metodo è chiamato espansione per cofattori.

Matrici di dimensioni maggiori (4×4 e oltre) possono essere espanse ricorsivamente.
Il determinante è utile perché indica se una matrice ha un inverso (determinante diverso da zero).

Inversa di una matrice

L'inversa di una matrice quadrata $A$ si indica come $A^{-1}$ . Soddisfa $A \cdot A^{-1} = I$ , dove $I$ è la matrice identità.

Solo le matrici quadrate con determinante diverso da zero hanno un'inversa.

Esempio:

Se la matrice A è:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Allora la sua matrice inversa $A^{-1}$ è:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Dove $\det(A) \neq 0$ .

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

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