Impara Implementazione della Trasformazione di Matrici in Python

Risoluzione di un sistema lineare

Definiamo un sistema di equazioni:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Questo viene riscritto come:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Questo trova i valori di $x$ e $y$ che soddisfano entrambe le equazioni.

Perché è importante: la risoluzione di sistemi di equazioni è fondamentale nella data science - dall'adattamento di modelli lineari alla risoluzione di vincoli di ottimizzazione.

Applicazione delle Trasformazioni Lineari

Definiamo un vettore:

v = np.array([[2], [3]])

Successivamente applichiamo due trasformazioni:

Scalatura

Allunghiamo $x$ di 2 e comprimiamo $y$ di 0,5:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Questo esegue:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Rotazione

Ruotiamo il vettore di $90°$ in senso antiorario utilizzando la matrice di rotazione:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Questo produce:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Visualizzazione delle Trasformazioni

Utilizzando matplotlib, vengono tracciati i vettori dall'origine, con le rispettive coordinate etichettate:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Perché è importante: i flussi di lavoro in data science spesso includono trasformazioni, ad esempio:

Analisi delle Componenti Principali - ruota i dati;
Normalizzazione delle feature - scala gli assi;
Riduzione della dimensionalità - proiezioni.

Visualizzando i vettori e le loro trasformazioni, si comprende come le matrici spostano e rimodellano letteralmente i dati nello spazio.

Tutto è chiaro?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 4. Capitolo 6

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Suggested prompts:

Can you explain how the solution to the system of equations is calculated?

How does the scaling and rotation transformation affect the original vector?

Can you walk me through the visualization code and what each part does?

Awesome!

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