Summary  
This chapter shows how to define symbolic variables and compute partial derivatives of multivariable functions using SymPy in Python, then substitute numerical values and printing the results.

General domain of usage  
machine learning

In questo video, apprenderai come calcolare le **derivate parziali** di funzioni multivariabili utilizzando Python. Sono fondamentali in **ottimizzazione, machine learning e data science** per analizzare come una funzione varia rispetto a una variabile mantenendo costanti le altre.


Scarica il codice dal video

## 1. Definizione di una funzione multivariabile
```
x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2
```
- Qui definiamo $$x$$ e $$y$$ come variabili simboliche;
- Successivamente definiamo la funzione $$f(x, y) = 4x^3y + 5y^2$$.


## 2. Calcolo delle derivate parziali
```
df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)  
```
- `sp.diff(f, x)` calcola $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}$$ considerando $$y$$ come costante;
- `sp.diff(f, y)` calcola $$\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}$$ considerando $$x$$ come costante.


## 3. Valutazione delle derivate parziali in (x=1, y=2)
```
df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})
```
- La funzione `.subs({x: 1, y: 2})` sostituisce $$x=1$$ e $$y=2$$ nelle derivate calcolate;
- Questo permette di **valutare numericamente** le derivate in un punto specifico.


## 4. Stampa dei risultati

Stampa della **funzione originale**, delle sue **derivate parziali** e delle loro **valutazioni** in $$(1,2)$$.

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = 4*x**3*y + 5*y**2

df_dx = sp.diff(f, x)  
df_dy = sp.diff(f, y)

df_dx_val = df_dx.subs({x: 1, y: 2})  
df_dy_val = df_dy.subs({x: 1, y: 2})

print("Function: f(x, y) =", f)
print("∂f/∂x =", df_dx)
print("∂f/∂y =", df_dy)
print("∂f/∂x at (1,2) =", df_dx_val)
print("∂f/∂y at (1,2) =", df_dy_val)

Cosa restituirà `sp.diff(f, y)` per la funzione data?

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Implementazione delle Derivate Parziali in Python

1. Definizione di una funzione multivariabile

2. Calcolo delle derivate parziali

3. Valutazione delle derivate parziali in (x=1, y=2)

4. Stampa dei risultati