In Python, è possibile calcolare derivate in modo simbolico utilizzando sympy e visualizzarle tramite matplotlib.

1. Calcolo simbolico delle derivate

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Spiegazione:

• Si definisce x come variabile simbolica tramite sp.symbols('x');
• La funzione sp.diff(f, x) calcola la derivata di f rispetto a x;
• Questo consente di manipolare le derivate algebricamente in Python.

2. Valutazione e rappresentazione grafica di funzioni e delle loro derivate

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Spiegazione:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') converte una funzione simbolica in una funzione numerica che può essere valutata utilizzando numpy;
• Questo è necessario perché matplotlib e numpy operano su array numerici, non su espressioni simboliche.

3. Stampa delle valutazioni delle derivate in punti chiave

Per verificare i nostri calcoli, stampiamo i valori delle derivate per x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)