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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Introduzione alle Derivate Parziali | Analisi Matematica
Matematica per la Data Science

bookIntroduzione alle Derivate Parziali

Note
Definizione

Una derivata parziale misura come una funzione a più variabili cambia rispetto a una variabile mantenendo costanti tutte le altre. Rappresenta la velocità di variazione lungo una singola dimensione all'interno di un sistema multivariabile.

Cosa sono le derivate parziali?

Una derivata parziale si scrive utilizzando il simbolo ∂\partial invece di dd usato per le derivate ordinarie. Se una funzione f(x,y)f(x,y) dipende sia da xx che da yy, si calcola:

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
Note
Nota

Durante la derivazione rispetto a una variabile, tutte le altre variabili devono essere considerate costanti.

Calcolo delle derivate parziali

Considerare la funzione:

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Si determini ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}:

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Derivazione rispetto a xx, considerando yy come costante.

Si calcoli ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}:

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Derivazione rispetto a yy, considerando xx come costante.
question mark

Considerare la funzione:

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Calcolare ora la derivata parziale rispetto a yy.

Select the correct answer

Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 7

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Suggested prompts:

Can you explain why we treat other variables as constants when taking a partial derivative?

Can you show another example with three variables?

What are some real-world applications of partial derivatives?

Awesome!

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Una derivata parziale misura come una funzione a più variabili cambia rispetto a una variabile mantenendo costanti tutte le altre. Rappresenta la velocità di variazione lungo una singola dimensione all'interno di un sistema multivariabile.

Cosa sono le derivate parziali?

Una derivata parziale si scrive utilizzando il simbolo ∂\partial invece di dd usato per le derivate ordinarie. Se una funzione f(x,y)f(x,y) dipende sia da xx che da yy, si calcola:

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
Note
Nota

Durante la derivazione rispetto a una variabile, tutte le altre variabili devono essere considerate costanti.

Calcolo delle derivate parziali

Considerare la funzione:

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Si determini ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}:

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Derivazione rispetto a xx, considerando yy come costante.

Si calcoli ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}:

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Derivazione rispetto a yy, considerando xx come costante.
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Considerare la funzione:

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Calcolare ora la derivata parziale rispetto a yy.

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