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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Introduzione Agli Integrali | Analisi Matematica
Matematica per la Data Science

bookIntroduzione Agli Integrali

Note
Definizione

L'integrazione è un concetto fondamentale nel calcolo che rappresenta l'accumulazione totale di una quantità, come l'area sotto una curva. È essenziale nella data science per il calcolo delle distribuzioni di probabilità, dei valori cumulativi e per l'ottimizzazione.

Integrale di base

L'integrale di base di una funzione potenza segue questa regola:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Dove:

  • CC è una costante;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C rappresenta una costante arbitraria di integrazione.

Idea chiave: se la derivazione riduce l'esponente di xx, l'integrazione lo aumenta.

Regole comuni di integrazione

Regola della potenza per l'integrazione

Questa regola consente di integrare qualsiasi espressione polinomiale:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Ad esempio, se n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Regola esponenziale

L'integrale della funzione esponenziale exe^x è unico perché rimane invariato dopo l'integrazione:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Tuttavia, se l'esponente ha un coefficiente, si applica un'altra regola:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Ad esempio, se a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Integrali trigonometrici

Le funzioni seno e coseno seguono anch'esse regole di integrazione dirette:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Integrali definiti

A differenza degli integrali indefiniti, che includono una costante arbitraria CC, gli integrali definiti valutano una funzione tra due estremi aa e bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Dove F(x)F(x) è la primitiva di f(x)f(x).

Ad esempio, se f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 e b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Questo significa che l'area sotto la curva y=2xy = 2x da x=0x=0 a x=2x=2 è 44.

question mark

Calcolare l'integrale:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 5

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Integrale di base

L'integrale di base di una funzione potenza segue questa regola:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Dove:

  • CC è una costante;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C rappresenta una costante arbitraria di integrazione.

Idea chiave: se la derivazione riduce l'esponente di xx, l'integrazione lo aumenta.

Regole comuni di integrazione

Regola della potenza per l'integrazione

Questa regola consente di integrare qualsiasi espressione polinomiale:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Ad esempio, se n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Regola esponenziale

L'integrale della funzione esponenziale exe^x è unico perché rimane invariato dopo l'integrazione:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Tuttavia, se l'esponente ha un coefficiente, si applica un'altra regola:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Ad esempio, se a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Integrali trigonometrici

Le funzioni seno e coseno seguono anch'esse regole di integrazione dirette:

∫sin(x)dx=−cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x) dx = sin(x) + C

Integrali definiti

A differenza degli integrali indefiniti, che includono una costante arbitraria CC, gli integrali definiti valutano una funzione tra due estremi aa e bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Dove F(x)F(x) è la primitiva di f(x)f(x).

Ad esempio, se f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 e b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Questo significa che l'area sotto la curva y=2xy = 2x da x=0x=0 a x=2x=2 è 44.

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Calcolare l'integrale:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

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