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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Introduzione ai Limiti | Analisi Matematica
Matematica per la Data Science

bookIntroduzione ai Limiti

Note
Definizione

Un limite è un concetto fondamentale nel calcolo che descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando il suo input si avvicina a un punto specifico. I limiti costituiscono la base per la definizione di derivate e integrali, rendendoli essenziali nell'analisi matematica e nell'ottimizzazione dell'apprendimento automatico.

Definizione formale e notazione

Un limite rappresenta il valore a cui una funzione si avvicina quando l'input si avvicina arbitrariamente a un punto.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Questo significa che quando xx si avvicina arbitrariamente a aa, f(x)f(x) si avvicina a LL.

Note
Nota

La funzione non deve essere definita in x=ax=a affinché il limite esista.

Limiti Laterali e Limiti Bilaterali

Un limite può essere avvicinato da entrambi i lati:

  • Limite sinistro: avvicinamento ad aa da valori inferiori ad aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Limite destro: avvicinamento ad aa da valori superiori ad aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Il limite esiste solo se entrambi i limiti laterali sono uguali:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Quando i Limiti Non Esistono

Un limite non esiste nei seguenti casi:

  • Discontinuità a salto:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Esempio: una funzione a gradino in cui i limiti sinistro e destro sono diversi.
  • Limite infinito:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • La funzione cresce senza limiti.
  • Oscillazione:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • La funzione oscilla indefinitamente senza convergere a un valore unico.

Caso Particolare – Limiti all’Infinito

Quando xx tende all’infinito, si analizza il comportamento asintotico delle funzioni:

  • Funzioni razionali:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Crescita polinomiale:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Regola del termine dominante:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
question mark

Quale affermazione descrive correttamente quando esiste un limite?

Select the correct answer

Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 1

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Can you explain the difference between one-sided and two-sided limits?

What are some common techniques for evaluating limits?

Can you give examples of when a limit does not exist?

Awesome!

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Definizione

Un limite è un concetto fondamentale nel calcolo che descrive il valore a cui una funzione si avvicina quando il suo input si avvicina a un punto specifico. I limiti costituiscono la base per la definizione di derivate e integrali, rendendoli essenziali nell'analisi matematica e nell'ottimizzazione dell'apprendimento automatico.

Definizione formale e notazione

Un limite rappresenta il valore a cui una funzione si avvicina quando l'input si avvicina arbitrariamente a un punto.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Questo significa che quando xx si avvicina arbitrariamente a aa, f(x)f(x) si avvicina a LL.

Note
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La funzione non deve essere definita in x=ax=a affinché il limite esista.

Limiti Laterali e Limiti Bilaterali

Un limite può essere avvicinato da entrambi i lati:

  • Limite sinistro: avvicinamento ad aa da valori inferiori ad aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Limite destro: avvicinamento ad aa da valori superiori ad aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Il limite esiste solo se entrambi i limiti laterali sono uguali:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Quando i Limiti Non Esistono

Un limite non esiste nei seguenti casi:

  • Discontinuità a salto:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Esempio: una funzione a gradino in cui i limiti sinistro e destro sono diversi.
  • Limite infinito:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • La funzione cresce senza limiti.
  • Oscillazione:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • La funzione oscilla indefinitamente senza convergere a un valore unico.

Caso Particolare – Limiti all’Infinito

Quando xx tende all’infinito, si analizza il comportamento asintotico delle funzioni:

  • Funzioni razionali:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Crescita polinomiale:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Regola del termine dominante:
lim⁡x→∞axmbxn={0, if m<n,ab, if m=n,±∞, if m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{if } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{if } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{if } m > n. \end{cases}
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