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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Impara Introduzione alle Derivate | Analisi Matematica
Matematica per la Data Science

bookIntroduzione alle Derivate

Note
Definizione

Una derivata è una misura di come una funzione varia al variare del suo input. Rappresenta il tasso di variazione della funzione ed è fondamentale per analizzare tendenze, ottimizzare processi e prevedere comportamenti in ambiti quali fisica, economia e apprendimento automatico.

Definizione di Limite di una Derivata

La derivata di una funzione f(x)f(x) in un punto specifico x=ax = a è data da:

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Questa formula indica di quanto f(x)f(x) varia quando si effettua un piccolo passo hh lungo l'asse x. Più piccolo è hh, più ci si avvicina al tasso di variazione istantaneo.

Regole di Base delle Derivate

Regola della Potenza

Se una funzione è una potenza di xx, la derivata segue:

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Questo significa che, durante la derivazione, si porta l'esponente in basso e lo si riduce di uno:

ddxx3=3x2\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Regola della Costante

La derivata di una qualsiasi costante è zero:

ddxC=0\frac{d}{dx}C=0

Ad esempio, se f(x)=5f(x) = 5, allora:

ddx5=0\frac{d}{dx}5=0

Regola della Somma e della Differenza

La derivata di una somma o differenza di funzioni segue la regola:

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Ad esempio, derivando separatamente:

ddx(x3+2x)=3x2+2\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Regole del Prodotto e del Quoziente

Regola del Prodotto

Se due funzioni vengono moltiplicate, la derivata si calcola come segue:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Questo significa che si derivano separatamente le due funzioni e poi si sommano i prodotti. Se f(x)=x2f(x)=x^2 e g(x)=exg(x) = e^x, allora:

ddx[x2ex]=2xex+x2ex\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^2e^x

Regola del Quoziente

Quando si dividono funzioni, utilizzare:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Se f(x)=x2f(x)=x^2 e g(x)=x+1g(x)=x+1, allora:

ddx[x2x+1]=2x(x+1)−x2(1)(x+1)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Regola della Catena: Derivazione di Funzioni Composte

Quando si derivano funzioni annidate, utilizzare:

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Ad esempio, se y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5, allora:

ddx(3x+2)5=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Questa regola è fondamentale nelle reti neurali e negli algoritmi di apprendimento automatico.

Esempio di Regola della Catena Esponenziale:

Quando si deriva un'espressione come:

y=e2x2y =e^{2x^2}

Si tratta di una funzione composta:

  • Funzione esterna: eue^u
  • Funzione interna: u=2x2u = 2x^2

Applicare la regola della catena passo dopo passo:

ddx2x2=4x\frac{d}{dx}2x^2=4x

Poi moltiplicare per l'esponenziale originale:

ddx(e2x2)=4x⋅e2x2\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}
Note
Approfondisci

Nel machine learning e nelle reti neurali, questo si presenta quando si lavora con attivazioni esponenziali o funzioni di perdita esponenziali.

Esempio della regola della catena logaritmica:

Deriviamo ln⁡(2x)\ln(2x). Anche in questo caso si tratta di una funzione composta: logaritmo all'esterno, funzione lineare all'interno.

Deriviamo la parte interna:

ddx(2x)=2\frac{d}{dx}(2x)=2

Ora applichiamo la regola della catena al logaritmo:

ddxln⁡(2x)=12x⋅2\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Che si semplifica in:

ddxln⁡(2x)=22x=1x\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
Note
Nota

Anche se si deriva ln⁡(kx)\ln(kx), il risultato è sempre 1x\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} perché le costanti si semplificano.

Caso speciale: Derivata della funzione sigmoide

La funzione sigmoide è comunemente utilizzata nel machine learning:

σ(x)=11+x−x\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

La sua derivata svolge un ruolo chiave nell'ottimizzazione:

σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Se f(x)=11+e−xf(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}, allora:

f′(x)=e−x(1+e−x)2f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Questa formula garantisce che i gradienti rimangano regolari durante l'addestramento.

question mark

Quale delle seguenti rappresenta correttamente la derivata di x4x^4?

Select the correct answer

Tutto è chiaro?

Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

Sezione 3. Capitolo 3

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Can you explain the limit definition of a derivative in simpler terms?

How do I use the power rule for more complicated functions?

Can you show more examples of the chain rule in action?

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Una derivata è una misura di come una funzione varia al variare del suo input. Rappresenta il tasso di variazione della funzione ed è fondamentale per analizzare tendenze, ottimizzare processi e prevedere comportamenti in ambiti quali fisica, economia e apprendimento automatico.

Definizione di Limite di una Derivata

La derivata di una funzione f(x)f(x) in un punto specifico x=ax = a è data da:

lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Questa formula indica di quanto f(x)f(x) varia quando si effettua un piccolo passo hh lungo l'asse x. Più piccolo è hh, più ci si avvicina al tasso di variazione istantaneo.

Regole di Base delle Derivate

Regola della Potenza

Se una funzione è una potenza di xx, la derivata segue:

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Questo significa che, durante la derivazione, si porta l'esponente in basso e lo si riduce di uno:

ddxx3=3x2\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Regola della Costante

La derivata di una qualsiasi costante è zero:

ddxC=0\frac{d}{dx}C=0

Ad esempio, se f(x)=5f(x) = 5, allora:

ddx5=0\frac{d}{dx}5=0

Regola della Somma e della Differenza

La derivata di una somma o differenza di funzioni segue la regola:

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Ad esempio, derivando separatamente:

ddx(x3+2x)=3x2+2\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Regole del Prodotto e del Quoziente

Regola del Prodotto

Se due funzioni vengono moltiplicate, la derivata si calcola come segue:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Questo significa che si derivano separatamente le due funzioni e poi si sommano i prodotti. Se f(x)=x2f(x)=x^2 e g(x)=exg(x) = e^x, allora:

ddx[x2ex]=2xex+x2ex\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^2e^x

Regola del Quoziente

Quando si dividono funzioni, utilizzare:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Se f(x)=x2f(x)=x^2 e g(x)=x+1g(x)=x+1, allora:

ddx[x2x+1]=2x(x+1)−x2(1)(x+1)2\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Regola della Catena: Derivazione di Funzioni Composte

Quando si derivano funzioni annidate, utilizzare:

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Ad esempio, se y=(3x+2)5y = (3x + 2)^5, allora:

ddx(3x+2)5=5(3x+2)4⋅3=15(3x+2)4\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Questa regola è fondamentale nelle reti neurali e negli algoritmi di apprendimento automatico.

Esempio di Regola della Catena Esponenziale:

Quando si deriva un'espressione come:

y=e2x2y =e^{2x^2}

Si tratta di una funzione composta:

  • Funzione esterna: eue^u
  • Funzione interna: u=2x2u = 2x^2

Applicare la regola della catena passo dopo passo:

ddx2x2=4x\frac{d}{dx}2x^2=4x

Poi moltiplicare per l'esponenziale originale:

ddx(e2x2)=4x⋅e2x2\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}
Note
Approfondisci

Nel machine learning e nelle reti neurali, questo si presenta quando si lavora con attivazioni esponenziali o funzioni di perdita esponenziali.

Esempio della regola della catena logaritmica:

Deriviamo ln⁡(2x)\ln(2x). Anche in questo caso si tratta di una funzione composta: logaritmo all'esterno, funzione lineare all'interno.

Deriviamo la parte interna:

ddx(2x)=2\frac{d}{dx}(2x)=2

Ora applichiamo la regola della catena al logaritmo:

ddxln⁡(2x)=12x⋅2\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Che si semplifica in:

ddxln⁡(2x)=22x=1x\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}
Note
Nota

Anche se si deriva ln⁡(kx)\ln(kx), il risultato è sempre 1x\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} perché le costanti si semplificano.

Caso speciale: Derivata della funzione sigmoide

La funzione sigmoide è comunemente utilizzata nel machine learning:

σ(x)=11+x−x\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

La sua derivata svolge un ruolo chiave nell'ottimizzazione:

σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Se f(x)=11+e−xf(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}, allora:

f′(x)=e−x(1+e−x)2f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Questa formula garantisce che i gradienti rimangano regolari durante l'addestramento.

question mark

Quale delle seguenti rappresenta correttamente la derivata di x4x^4?

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Come possiamo migliorarlo?

Grazie per i tuoi commenti!

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